d^4 / d(t^4) (3sen^2(2t))

Passo 1

Para acharmos o resultado dessa derivada de ordem 4 precisamos ter em mente duas coisas:

1 -Teremos que fazer 4 derivadas. Uma da função dada e três das que conseguiremos através dela, pois a ordem da derivada nos dá essa informação.

2 - Derivaremos as funções usando as regras do produto e da cadeia.

Passo 2

1ª Derivada: Usaremos a função que nos foi dada inicialmente.

d   d t 3 s e n ² ( 2 t ) =   d   d t 3 ⋅ s e n 2 2 t + 3 ⋅ d   d t ( s e n 2 2 t )

                                                    = 3 ⋅ 2 s e n 2 t ⋅ c o s 2 t ⋅ 2

                                                    = 12 ⋅ s e n 2 t   c o s 2 t

Passo 3

2ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 2 dentro do nosso parêntese.

d   d t 12 ⋅ s e n 2 t   c o s 2 t =   d   d t 12 ⋅ s e n 2 t   c o s 2 t + 12 ⋅ d   d t s e n 2 t   c o s 2 t      

                                                        = 12 ⋅ d   d t s e n 2 t   c o s 2 t

                                                        = 12 ⋅ d   d t s e n 2 t ⋅ c o s 2 t + d   d t   ( cos ⁡ 2 t ) ⋅ s e n 2 t  

                                                        = 12 ⋅ c o s 2 t ⋅ 2 ⋅ c o s 2 t +   ( - sen ⁡ 2 t ) ⋅ 2 ⋅ s e n 2 t  

                                                        = 12 ⋅ 2 c o s 2 2 t - s e n ² 2 t  

                                                        = 24   c o s 2 2 t - s e n ² 2 t  

Passo 4

3ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 3 dentro do nosso parêntese.

d   d t 24   c o s 2 2 t - s e n ² 2 t = d   d t 24 ⋅ ( c o s 2 2 t - s e n ² 2 t ) + 24 ⋅ d   d t c o s 2 2 t - s e n ² 2 t

                                                                =   24 ⋅ d   d t c o s 2 2 t - s e n ² 2 t

                                                                = 24 ⋅ d   d t c o s ² 2 t - d   d t   ( sen ² ⁡ 2 t )

                                                                = 24 ⋅ 2 c o s 2 t ⋅ - s e n 2 t ⋅ 2 - 2 s e n 2 t ⋅ c o s 2 t ⋅ 2

                                                                = 24 ⋅ - 4 ⋅ c o s 2 t ⋅ s e n 2 t - 4 ⋅ c o s 2 t ⋅ s e n 2 t

                                                                = 24 ⋅ 4 - c o s 2 t ⋅ s e n 2 t - c o s 2 t ⋅ s e n 2 t

                                                                = - 192 c o s 2 t ⋅ s e n 2 t

Passo 5

4ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 4 dentro do nosso parêntese.

d   d t - 192 c o s 2 t ⋅ s e n 2 t =   d   d t - 192 ⋅ c o s 2 t ⋅ s e n 2 t + ( - 19 2 ) ⋅ d   d t c o s 2 t ⋅ s e n 2 t

                                                                                                      =   - 192 ⋅ d   d t c o s 2 t ⋅ s e n 2 t + d   d t   s e n 2 t ⋅ c o s 2 t  

                                                                                                      = - 192 ⋅ - sen ⁡ 2 t ⋅ 2 ⋅ s e n 2 t + c o s 2 t ⋅ 2 ⋅ c o s 2 t  

                                                                                                      = - 192 ⋅ 2 - s e n 2 2 t + c o s 2 2 t  

                                                                                                      = - 384   c o s 2 2 t - s e n ² 2 t

Passo 6

Prontinho, fizemos as quatro derivações necessárias. Agora para o resultado final é só igualar a derivada de ordem 4 dada no enunciado ao resultado da última derivada que fizemos.

Resposta

d 4   d t 4 3 s e n ² ( 2 t ) = - 384   c o s 2 2 t - s e n ² 2 t

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