Enunciado

Encontre a derivada da função.

y = x 2 + 1 x 2 + 2 3

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função

y = x 2 + 1 x 2 + 2 3

E nosso objetivo é calcular sua derivada.

Tem ideia de como fazemos isso?

Pra começar vamos primeiro dar uma arrumada nessa função e tirar essa raiz.

y = x 2 + 1 x 2 + 2 3 = x 2 + 1 x 2 + 2 1 3

A primeira coisa que podemos perceber da função, é que se trata de um produto de duas funções de x , então para simplificar nossa vida podemos aplicar a regra do produto...

f x = g x · h x ,     f ' x = g ' x · h x + g x · h ' x

Porem já adiando que vamos cair em uma coisa diferente por causa daquele expoente 1 / 3 .

No calculo da derivada desse termo vamos aplicar a regra da cadeia pois vamos ter uma derivada de uma função composta.

h x = p q x ,     h ' x = q ' x · p ' q x

Bora começar que vai ficar mais claro na prática!

Passo 2

Vamos começar aplicando a regra do produto.

Se y = x 2 + 1 x 2 + 2 1 3 , então g x = x 2 + 1 e h x = x 2 + 2 1 3 .

Pela regra do produto...

y ' = g ' x · h x + g x · h ' x

y ' = d x 2 + 1 d x · x 2 + 2 1 3 + x 2 + 1 · d x 2 + 2 1 3 d x

Perceba que a derivada do termo x 2 + 2 1 3 não é nada fácil de obter da maneira como está por causa do expoente.

Então na derivada desse termo vamos aplicar a regra da cadeia.

A regra da cadeia pode ser ditada como a derivada da função de dentro multiplicada pela derivada da função de fora...

Nesse caso, a função de dentro é dada por q x = x 2 + 2 e a função de fora é p q x = q x 1 3 .

Aplicando a regra da cadeia nesse termo, temos

d x 2 + 2 1 3 d x = d x 2 + 2 d x · d x 2 + 2 1 3 d x 2 + 2

Na segunda derivada, tratamos a função de dentro como uma variavel, então podemos dizer que x 2 + 2 = u nela

d x 2 + 2 1 3 d x = d x 2 + 2 d x · d u 1 3 d u

Substituindo em y ' , temos

y ' = d x 2 + 1 d x · x 2 + 2 1 3 + x 2 + 1 · d x 2 + 2 1 3 d x

y ' = d x 2 + 1 d x · x 2 + 2 1 3 + x 2 + 1 · d x 2 + 2 d x · d u 1 3 d u

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora é só calcular as derivadas pela regra da potencia...

d x 2 + 1 d x = 2 x 2 - 1 + 1 0 = 2 x

d x 2 + 2 d x = 2 x 2 - 1 + 2 0 = 2 x

d u 1 3 d u = 1 3 u 1 3 - 1 = 1 3 u - 2 3

Substituindo em y ' , temos

y ' = 2 x · x 2 + 2 1 3 + x 2 + 1 · 2 x · 1 3 u - 2 3

y ' = 2 x x 2 + 2 1 3 + x 2 + 1 3 u 2 3

Voltando u para x 2 + 2 ...

y ' = 2 x x 2 + 2 1 3 + x 2 + 1 3 x 2 + 2 2 3

E é isso! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

y ' = 2 x x 2 + 2 1 3 + x 2 + 1 3 x 2 + 2 2 3

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