Encontre a derivada da função.

f(t) = raiz(3)(1 + tg(t))

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom.. queremos determinar a derivada da seguinte função:

f t = 1 + tg ⁡ t 3

Pra começar vamos primeiro dar uma arrumada nessa função e escrevê-la como na forma de um polinômio:

f t = 1 + tg ⁡ t 3 =   1 + tg ⁡ t 1 3

Vamos analisar a função: temos uma constante e uma função trigonométrica elevadas ao grau 1 3 .

Vamos com calma então pra resolver esse, teremos que utilizar a regra da cadeia, vamos relembrar o formato:

F ' x = f ' g x . g ' x

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Temos que achar quais são as funções f x e g x , temos que:

F x = f g x

g x é a função mais de dentro e f x a função mais de fora:

g x = 1 + tg ⁡ t e f u = u 1 3

Passo 3

Vamos agora aplicar na regra, vamos resolver separadamente os termos, vamos ter que usar a fórmula da derivada de funções trigonométrica, a regra da função constante e regra da derivada de polinômio, vamos dá uma olhada nelas:

Da função trigonométrica tangente:

tg ⁡ t ' = sec 2 ⁡ t

Da função constante:

c ' = 0

Do polinômio:

x n ' = n x n - 1

Agora é só aplicar, vamos lá?

Passo 4

Vamos resolver separadamente os termos:

Primeiro vamos calcular g ' x usando duas regras:

g ' ( x ) = 1 ' + tg ⁡ t ' = 0 + sec 2 ⁡ t = sec 2 ⁡ t

Agora f ' u , vamos usar a regra da derivada de polinômio:

f ' u = u 1 3 ' = 1 3 u 1 3 - 1 = 1 3 u - 2 3 = 1 3 u 2 3

Passo 5

Agora é só substituir de volta na fórmula:

f ' t = 1 + tg ⁡ t 1 3 ' = f ' g x . g ' x = 1 3 u 2 3 . sec 2 ⁡ t

E por último é só substituir a expressão de u e pronto:

f ' t = 1 3 u 2 3 . sec 2 ⁡ t = 1 3 1 + tg ⁡ t 2 3 . sec 2 ⁡ t = sec 2 ⁡ t 3 1 + tg ⁡ t 2 3

Resposta

f ' t = sec 2 ⁡ t 3 1 + tg ⁡ t 2 3

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