Enunciado

Encontre a derivada da função.

F (x) = root(4)(1 + 2 x + x ³)

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos derivar a seguinte função:

F (x) = root(4)(1 + 2 x + x ³)

Para isso, precisaremos utilizar a regra da cadeia!!

Essa regrinha é dada da seguinte forma:

F ' (x) = f ' (g (x)) . g ' (x)

Assim, para podermos derivar a função que queremos, temos que encontrar quem são as funções f (x) e g (x) de tal forma que:

F (x) = f (g (x))

Mas antes, para começar, vamos primeiro dar uma arrumada nessa função e escrevê-la como na forma de um polinômio:

F (x) = root(4)(1 + 2 x + x ³) = (1 + 2 x + x ³)^((1)/(4))

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Ao analisar a função, percebemos que trata-se de um polinômio de grau 3 , elevado ao grau (1)/(4) .

Assim, encontrando as funções f (x) e g (x) , onde g (x) é a função mais de dentro e f (x) a função mais de fora, temos:

g (x) = 1 + 2 x + x ³ e f (u) = u^((1)/(4))

Passo 3

Vamos agora aplicar na regra, vamos resolver separadamente os termos, vamos ter que usar a fórmula da derivada de polinômio, a regra da função constante e da multiplicação por constante, vamos dá uma olhada nelas:

Do polinômio:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Da função constante:

(c)^' = 0

Da multiplicação por constante:

(k f (x))^' = k f ' ( x )

Agora é só aplicar, vamos lá?

Passo 4

Vamos resolver separadamente os termos:

Primeiro vamos calcular g ' (x) usando as três regras:

g^' (x) = (1)^' + (2 x)^' + (x^3)^' :.

g^' (x) = 0 + 2 . 1 . x^(1 - 1) + 3 x^(3 - 1) :.

g^' (x) = 2 x^0 + 3 x^2 :.

g^' (x) = 2 + 3 x ²

Agora f ' (u) , vamos usar a regra da derivada de polinômio:

f^' (u) = (u^((1)/(4)))^' :.

f^' (u) = ((1)/(4) u^((1)/(4) - 1)) :.

f^' (u) = (1)/(4) u^(- (3)/(4)) :.

f^' (u) = (1)/(4 root(4)(u ³))

Passo 5

Agora é só substituir de volta na fórmula:

F^(' (x)) = (root(4)(1 + 2 x + x^3))^' = f^(' (g (x))) . g^(' (x)) :.

F ' (x) = ((1)/(4 root(4)(u ³))) . (2 + 3 x ²)

E por último é só substituir a expressão de u e pronto:

F^' (x) = ((1)/(4 root(4)((1 + 2 x + x^3)^3))) . (2 + 3 x^2) :.

F ' (x) = (2 + 3 x^2)/(4 root(4)((1 + 2 x + x^3)^3))

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

F ' (x) = (2 + 3 x^2)/(4 root(4)((1 + 2 x + x^3)^3))

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