Enunciado

Encontre a derivada da função.

f ( t ) = tg (e^t) + e^(tg t)

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos derivar a seguinte função:

f ( t ) = tg (e^t) + e^(tg t)

Vamos lá, temos aqui que a derivada da soma é a soma das derivadas:

f^' ( t ) = (tg (e^t) + e^(tg t)) ' = (tg (e^t)) ' + ( e^(tg t) ) '

Para resolver isso, precisaremos aplicar a regra da cadeia, que é dada por:

(d y)/(d t) = (d y)/(d u) * (d u)/(d t)

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia para derivar a parte (e^(tg t))^' . Temos que:

(tg (x))^' = sec^2 (x)

Pela regra da cadeia, temos que:

(e^u)^' = e^u . u^'

Logo, fazendo u = t g t , temos:

(e^(tg t))^' = e^(tg t) . (tg (t) ') :.

(e^(tg t))^' = e^(tg t) . sec^2 (t)

Passo 3

Agora vamos derivar (tg (e^t)) ' :

(e^t)^' = e^t

Pela regra da cadeia, fazendo u = e^t temos que:

(tg (u))^' = sec^2 (u) . f ' ( x )

Logo:

(tg (e^t))^' = e^t sec^2 (e^t)

Passo 4

Agora é só substituir de volta na fórmula:

f^' (t) = (tg (e^t))^' + (e^(tg t))^' :.

f^' (t) = e^t sec^2 (e^t) + e^(tg t) . sec^2 (t)

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

f^' (t) = e^t sec^2 (e^t) + e^(tg t) . sec^2 (t)

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