Encontre a derivada da função.

f(t) = raiz(t / (t^2 + 4))

Passo 1

Pra começar vamos primeiro dar uma arrumada nessa função e escrevê-la como na forma de um polinômio:

f t = t t 2 + 4 = t t 2 + 4 1 2

Passo 2

Primeiro vamos usar a regra da cadeia:

f ' ( t ) = 1 2 t t 2 + 4 1 2 - 1 . t t 2 + 4 ' = 1 2 t t 2 + 4 - 1 2 . t t 2 + 4 '

Agora temos que usar a regra da divisão para calcular:

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Temos que:

f t = t

e

g t = t 2 + 4

Vamos agora só montar na fórmula:

t t 2 + 4 ' = t ' . t 2 + 4 - t . t 2 + 4 ' t 2 + 4 2

Passo 3

Vamos calcular f ' ( t ) , usando a regra do polinômio:

x n ' = n x n - 1

Assim:

f ' ( t ) = t ' = t 1 - 1 = t 0 = 1

Passo 4

Com g ' ( t ) é usamos também a da função constante:

c ' = 0

g ' ( t ) = t 2 + 4 ' = 2 t 2 - 1 + 0 = 2 t 1 = 2 t

Passo 5

Agora é só substituir na expressão:

t t 2 + 4 ' = t ' . t 2 + 4 - t . t 2 + 4 ' t 2 + 4 2 = 1 . t 2 + 4 - t . 2 t t 2 + 4 2 = t 2 + 4 - 2 t 2 t 2 + 4 2 = - t 2 + 4 t 2 + 4 2

Passo 6

Agora voltamos a expressão do passo 2 para terminar:

f ' t = 1 2 t t 2 + 4 - 1 2 . t t 2 + 4 ' = 1 2 t t 2 + 4 - 1 2 . - t 2 + 4 t 2 + 4 2 = - t 2 + 4 2 t t 2 + 4 t 2 + 4 2

Resposta

f ' t = - t 2 + 4 2 t t 2 + 4 t 2 + 4 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados