Encontre a derivada da função.

F(z) = raiz((z - 1) / (z + 1))

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom.. queremos determinar a derivada da seguinte função:

F z = z - 1 z + 1

Pra começar vamos primeiro dar uma arrumada nessa função e escrevê-la como na forma de um polinômio:

F z = z - 1 z + 1 = z - 1 z + 1 1 2

Vamos com calma então pra resolver esse, teremos que utilizar a regra da cadeia, vamos relembrar o formato:

F ' x = f ' g x . g ' x

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Primeiro vamos usar a regra da cadeia fazendo f ' g x = 1 2 z - 1 z + 1 1 2 - 1 e g ' x = z - 1 z + 1 ' :

F ' ( z ) = 1 2 z - 1 z + 1 1 2 - 1 . z - 1 z + 1 ' = 1 2 z - 1 z + 1 - 1 2 . z - 1 z + 1 '

Agora temos que usar a regra da divisão para calcular:

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Temos que:

f z = z - 1

e

g z = z + 1

Vamos agora só montar na fórmula:

z - 1 z + 1 ' = z - 1 ' . z + 1 - z - 1 . z + 1 ' z + 1 2

Passo 3

Vamos calcular f ' ( z ) , usando a regra do polinômio e da função constante:

x n ' = n x n - 1 e c ' = 0

Assim:

f ' ( z ) = z - 1 ' = z 1 - 1 - 0 = z 0 = 1

Passo 4

Com g ' ( z ) é a mesma coisa:

g ' ( z ) = z + 1 ' = z 1 - 1 + 0 = z 0 = 1

Passo 5

Agora é só substituir na expressão:

z - 1 z + 1 ' = f ' z g z - f z g ' z g z 2 ∴

z - 1 z + 1 ' = z - 1 ' . z + 1 - z - 1 . z + 1 ' z + 1 2 ∴

z - 1 z + 1 ' = 1 . z + 1 - z - 1 . 1 z + 1 2 ∴

z - 1 z + 1 ' = z + 1 - z + 1 z + 1 2 ∴

z - 1 z + 1 ' = 2 z + 1 2

Passo 6

Agora voltamos a expressão do passo 2 para terminar:

F ' z = 1 2 z - 1 z + 1 - 1 2 . z - 1 z + 1 ' ∴

F ' z = 1 2 z - 1 z + 1 - 1 2 . 2 z + 1 2 ∴

F ' z = 1 z - 1 z + 1 . z + 1 2

Resposta

F ' z = 1 z - 1 z + 1 . z + 1 2

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