Enunciado

Encontre a derivada da função.

G y = y ² y + 1 5

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que calcular a derivada da função

G y = y ² y + 1 5

Tem ideia de como fazemos isso?

Podemos perceber que desenvolver esse expoente vai dar um pouco de trabalho... então o que podemos fazer para facilitar nossa vida é aplicar a regra da cadeia.

A regra da cadeia é aplicada quando temos uma função composta (uma função dentro da outra).

A regra diz que a derivada de uma função composta é dada pela derivada da função de dentro, multiplicada pela derivada da função de fora

f x = g h x ,     f ' x = h ' x · g ' h x

Sacou? Bora começar!

Passo 2

A primeira coisa que podemos fazer para organizar nosso problema é identificar a função de dentro e a função de fora...

Se G y = y ² y + 1 5 e G y = f h y , então

h y = y 2 y + 1

e tambem

f h y = h y 5

Para simplificar o que estamos fazendo, na derivada de f vamos considerar h como uma variavel.

Aplicando a regra da cadeia em G y , temos

G ' y = d y 2 y + 1 d y · d h 5 d h

A derivada de h 5 é dada pela regra da potencia, ou seja

d h 5 d h = 5 h 5 - 1 = 5 h 4

Já a derivada de y 2 y + 1 é calculada pela regra do quociente...

Lembrando da regra do quociente, temos

f x = g x h x ,     f ' x = g ' x · h x - g x · h ' x h x 2

Ou seja

d y 2 y + 1 d y = d y 2 d y · y + 1 - y 2 · d y + 1 d y y + 1 2

Pela regra da potencia...

d y 2 y + 1 d y = 2 y · y + 1 - y 2 · 1 y + 1 2 = y 2 + 2 y y + 1 2

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora que encontramos a derivada de dentro e a derivada de fora, basta substituirmos na regra da cadeia

G ' y = d y 2 y + 1 d y · d h 5 d h

G ' y = y 2 + 2 y y + 1 2 · 5 h 4

Não podemos deixar o resultado em função de h , então voltamos h para y 2 y + 1

G ' y = y 2 + 2 y y + 1 2 · 5 y 2 y + 1 4

G ' y = 5 y 2 + 2 y y + 1 2 y 8 y + 1 4

G ' y = 5 y 9 y + 2 y + 1 6

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

G ' y = 5 y 9 y + 2 y + 1 6

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