Enunciado

Encontre a primeira e a segunda derivadas da função.

y = x e c x

Passo 1

Primeiro vamos usar a regra do produto:

f x g x ' = f ' x g x + g ' x f x

Temos que:

f x = x

e

g x = e c x

Passo 2

Agora temos que usar a regra do polinômio:

x n ' = n x n - 1

Assim:

f ' ( x ) = x 1 - 1 = x 0 = 1

Passo 3

Já para calcular g ' ( x ) vamos usar a regra da função exponencial e da multiplicação por constante:

e f x ' = e f x . f ' ( x )

k f x ' = k f ' ( x )

Assim temos:

g ' ( x ) = e c x ' = e c x . c x ' = e c x . c x 1 - 1 = e c x . c x 0 = c e c x

Passo 4

Agora é só substituir na expressão:

y ' = f ' ( x ) g x + g ' ( x ) f x = 1 . e c x + c e c x . x = e c x + c x e c x

Passo 5

Agora vamos calcular a segunda derivada:

y ' ' = e c x + c x e c x ' = e c x ' + c x e c x '

Já calculamos lá em cima a derivada de e c x ' :

e c x ' = e c x . c x ' = e c x . c x 1 - 1 = e c x . c x 0 = c e c x

Na outra vamos usar a regra do produto:

f x g x ' = f ' ( x ) g x + g ' x f x

Temos que:

f x = c x

e

g x = e c x

Passo 6

Com f ' ( x ) é é simples, usamos a regra da multiplicação por constante:

k f x ' = k f ' ( x )

Assim:

f ' x = c x ' = c x 1 - 1 = c

Passo 7

Novamente já calculamos lá em cima g ' x :

g ' ( x ) = e c x ' = e c x . c x ' = e c x . c x 1 - 1 = e c x . c x 0 = c e c x

Passo 8

Agora é só substituir na expressão:

y ' ' = e c x ' + c x e c x ' = c e c x + f ' ( x ) g x + g ' x f x = c e c x + c . e c x + c e c x . c x = 2 c e c x + c ² x e c x

Resposta

y ' = e c x + c x e c x

y ' ' = 2 c e c x + c ² x e c x

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Derive. g t = e t - e - t e t + e - t
Seja f : R → R derivável e seja g dada por g x = f e 2 x . Supondo f ' 1 = 2 , calcule g ' 0 .