Enunciado

Encontre a derivada da função.

y = e^(k tg sqrt(x))

Passo 1

Pra começar vamos primeiro dar uma arrumada nessa função e escrevê-la como na forma de um polinômio:

y = e^(k tg sqrt(x)) = e^(k tg (x^((1)/(2))))

Passo 2

Aqui vamos usar a regra da função exponencial, da multiplicação por constante e da função trigonométrica:

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) . f ' ( x )

(k f (x))^' = k f ' ( x )

(tg (x))^' = sec^2 (x)

Vamos lá:

y^' = (e^(k tg (x^((1)/(2)))))^' = e^(k tg (x^((1)/(2)))) . (k tg (x^((1)/(2)))) '

Passo 3

Para derivar (k tg (x^((1)/(2))))^' vamos usar a regra da função exponencial e da função trigonométrica, além da regra da cadeia:

(k tg (x^((1)/(2))))^' = k sec^2 (x^((1)/(2))) . (x^((1)/(2)))^' = k sec^2 (x^((1)/(2))) . (1)/(2) x^((1)/(2) - 1) = k sec^2 (x^((1)/(2))) . (1)/(2) x^(- (1)/(2)) = (k sec^2 (x^((1)/(2))))/(2 sqrt(x))

Passo 4

Por último é só substituir na expressão do passo 2 :

y^' = e^(k tg (x^((1)/(2)))) . (k tg (x^((1)/(2))))^' = e^(k tg (x^((1)/(2)))) . (k sec^2 (x^((1)/(2))))/(2 sqrt(x))

Resposta

y ' = e^(k tg (x^((1)/(2)))) . (k sec^2 (x^((1)/(2))))/(2 sqrt(x))

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