Enunciado

Encontre a derivada da função.

y = cos (a^3 + x ³)

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos derivar a seguinte função:

y = cos (a^3 + x ³)

Onde a é uma constante.

Para isso, precisaremos utilizar a regra da cadeia!!

Essa regrinha é dada da seguinte forma:

y ' = f ' (g (x)) . g ' (x)

Assim, para podermos derivar a função que queremos, temos que encontrar quem são as funções f (x) e g (x) de tal forma que:

y (x) = f (g (x))

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Ao analisar a função, percebemos que trata-se de um polinômio dentro de uma função trigonométrica.

Assim, encontrando as funções f (x) e g (x) , onde g (x) é a função mais de dentro e f (x) a função mais de fora, temos:

g (x) = a^3 + x ³ e f (u) = cos (u)

Passo 3

Vamos agora aplicar na regra, vamos resolver separadamente os termos, vamos ter que usar a fórmula da derivada de funções trigonométrica, a fórmula da derivada de polinômio e da função constante , vamos dá uma olhada nelas:

Da função trigonométrica cosseno:

(cos (t))^' = - sen (t)

Do polinômio:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Da função constante:

(c)^' = 0

Agora é só aplicar, vamos lá?

Passo 4

Vamos resolver separadamente os termos:

Primeiro vamos calcular g ' (x) usando duas regras:

g^' (x) = (a^3)^' + (x^3)^' :.

g^' (x) = 0 + 3 x^(3 - 1) :.

g^' (x) = 3 x^2

Aqui temos que lembrar que a^3 é uma constante, e não um polinômio.

Agora f ' (u) , vamos usar a regra da derivada do cosseno:

f^' (u) = (cos (u))^' :.

f^' (u) = - sen (u)

Passo 5

Agora é só substituir de volta na fórmula:

y^' = (cos (a^3 + x^3))^' :.

y^' = f^' (g (x)) . g^' (x) :.

y^' = - sen (u) . 3 x^2

E por último é só substituir a expressão de u e pronto:

y^' = - sen (u) . 3 x^2 :.

y^' = - sen (a^3 + x^3) . 3 x^2 :.

y^' = - 3 x^2 sen (a^3 + x ³)

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

y ' = - 3 x^2 sen (a^3 + x ³)

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