Encontre a derivada da função.

y = cos(a^3 + x^3)

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos derivar a seguinte função:

y = cos ⁡ a 3 + x ³

Onde a é uma constante.

Para isso, precisaremos utilizar a regra da cadeia!!

Essa regrinha é dada da seguinte forma:

y ' = f ' g x . g ' x

Assim, para podermos derivar a função que queremos, temos que encontrar quem são as funções f x e g x de tal forma que:

y x = f g x

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Ao analisar a função, percebemos que trata-se de um polinômio dentro de uma função trigonométrica.

Assim, encontrando as funções f x e g x , onde g x é a função mais de dentro e f x a função mais de fora, temos:

g x = a 3 + x ³ e f u = cos ⁡ u

Passo 3

Vamos agora aplicar na regra, vamos resolver separadamente os termos, vamos ter que usar a fórmula da derivada de funções trigonométrica, a fórmula da derivada de polinômio e da função constante , vamos dá uma olhada nelas:

Da função trigonométrica cosseno:

cos ⁡ t ' = - sen ⁡ t

Do polinômio:

x n ' = n x n - 1

Da função constante:

c ' = 0

Agora é só aplicar, vamos lá?

Passo 4

Vamos resolver separadamente os termos:

Primeiro vamos calcular g ' x usando duas regras:

g ' x = a 3 ' + x 3 ' ∴

g ' x = 0 + 3 x 3 - 1 ∴

g ' x = 3 x 2

Aqui temos que lembrar que a 3 é uma constante, e não um polinômio.

Agora f ' u , vamos usar a regra da derivada do cosseno:

f ' u = cos ⁡ u ' ∴

f ' u = - sen ⁡ u

Passo 5

Agora é só substituir de volta na fórmula:

y ' = cos ⁡ a 3 + x 3 ' ∴

y ' = f ' g x . g ' x ∴

y ' = - sen ⁡ u . 3 x 2

E por último é só substituir a expressão de u e pronto:

y ' = - sen ⁡ u . 3 x 2 ∴

y ' = - sen ⁡ a 3 + x 3 . 3 x 2 ∴

y ' = - 3 x 2 sen ⁡ a 3 + x ³

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

y ' = - 3 x 2 sen ⁡ a 3 + x ³

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