Enunciado

Demonstre que

underset(x -> 0^+)(lim) ln x = - oo

Passo 1

Olá, meu amigo, Yuri aqui e eu estarei lhe ajudando na resolução desta atividade.

O enunciado pede para usarmos a definição de limite para demonstrar que o limite de ln x ‘explode’ para - oo quando x -> 0^+ .

Normalmente quando o enunciado pede para que nós demonstremos algo ele quer dizer para que façamos isso pelo método formal matemático, aqui iremos fazer tanto de uma forma lúdica, utilizando o gráfico, quanto da forma mais matemática, utilizando a definição de limites.

Abaixo você ver o gráfico da função ln x :

Vou dar um zoom nesse grafico para que possamos observar o comportamento da função quando nos aproximamos de 0 , pela direita, pois é isso que significa o 0^+ .

O que podemos observar é que a medida que vamos ficando mais perto de 0, maiores são os valores de y , tão grandes que caminhamos para - oo .

Agora iremos partir para a definição formal!

Passo 2

A definição precisa de limite diz que underset(x -> a)(lim) f (x) irá para oo em situações em que para todo N < 0 , existe um delta > 0 tal que se 0 < |x - a| < delta , então f (x) < N

Em outras palavras, o que essa definição diz é que qualquer número negativo N , deve existir um intervalinho próximo x = a tal que o valor da função seja menor que N . Como N é arbitrário, os valores da função podem ser tomados tão pequenos quanto desejarmos e, assim, ela tenderá a - oo .

Assim, o que devemos fazer é achar delta (possivelmente em função de N ) tal que 0 < |x - a| < delta implica f (x) < N .

Passo 3

Seja N < 0 e 0 < |x - 0| < delta além de f (x) < N

Seja então N < 0 um número real qualquer, podemos observar que por conta da propriedade dos logaritmos e^(ln x) = x

x = e^(ln x) < e^N

Observe que a sugestão para delta = e^N dada acima. Então utilizando a definição e o valor de delta

0 < |x| < delta

0 < |x| < delta = e^N

f (x) = ln x < N

Então, para qualquer N < 0 , existe um delta > 0 (nesse caso delta = e^N ) tal que 0 < x < delta que implica que ln x < N . Podemos confirmar o que pensamos visualizando o gráfico de ln x novamente:

Resposta

Demonstração.

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Nos exercícios de 13 a 32, ache o limiteunderset(x - 4^-)(lim) (sqrt(16 - x^2))/(x - 4)
Faça o seguinte: a ) Use uma calculadora para tabular valores de f x para valores fixados de x e, a partir deles, faça uma afirmação a respeito do comportamento evidente de f x . b ) Ache o limite ind
Faça o seguinte: a ) Use uma calculadora para tabular valores de f x para valores fixados de x e, a partir deles, faça uma afirmação a respeito do comportamento evidente de f x . b ) Ache o limite ind
Ache o limiteunderset(x - 1^-)(lim) (⟦x^2⟧ - 1)/(x^2 - 1) ⟦ ⟧
Faça o seguinte: a ) Use uma calculadora para tabular valores de f x para valores fixados de x e, a partir deles, faça uma afirmação a respeito do comportamento evidente de f x . b ) Ache o limite ind