Encontre a derivada da função dada:

h(x) = tg^(-1)(2x / (1 - x^2))

Passo 1

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia. E lembrar qual a derivada de tg - 1 ⁡  

tg - 1 ⁡ x ' = 1 1 + x 2

Vamos fazer

h x = g f x

Com

g x = cos - 1 ⁡ x

f x = 2 x 1 - x 2

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

h ' x = g ' f x f ' x

Temos

g ' x = 1 1 + x 2

Que é a derivada de senh - 1 ⁡  

Então

g ' x = 1 1 + f x 2 f ' x

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de f x . Para isso vamos usar a regra do quociente:

f x = 2 x 1 - x 2 → f ' x = 2 x ' 1 - x 2 - 2 x 1 - x 2 ' 1 - x 2 2 = 2 1 - x 2 - 2 x - 2 x 1 - x 2 2

f ' x = 2 - 2 x 2 + 4 x 2 1 - x 2 2 = 2 + 2 x 2 1 - x 2 2

Vamos ter

g ' x = 1 1 + 2 x 1 - x 2 2 2 + 2 x 2 1 - x 2 2

g ' x = 1 1 + 4 x 2 1 - x 2 2 2 + 2 x 2 1 - x 2 2

g ' x = 1 - x 2 2 1 - x 2 2 + 4 x 2 2 + 2 x 2 1 - x 2 2

g ' x = 2 + 2 x 2 1 - x 2 2 + 4 x 2

Resposta

g ' x = 2 + 2 x 2 1 - x 2 2 + 4 x 2

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