Encontre a derivada da função dada:

f(r) = cosech^(-1)(1 / 2 \* r^2)

Passo 1

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia. E lembrar qual a derivada de senh - 1 ⁡  

cosech - 1 ⁡ r ' = - 1 r 1 - r 2

Vamos fazer

f r = g h r

Com

g r = cosech - 1 ⁡ x

h r = 1 2 r 2

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

f ' r = g ' h r h ' r

Temos

g ' r = - 1 r 1 - r 2

Que é a derivada de cosec - 1 ⁡  

Então

f ' r = - 1 h r 1 - h r 2 h ' r

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de h r

h r = 1 2 r 2 → h ' r = r

Vamos ter

f ' r = - 1 1 2 r 2 1 - 1 2 r 2 2 r

f ' r = - r 1 2 r 2 1 - r 4 4

f ' r = - r 1 2 r 2 4 - r 4 4

f ' r = - r 1 4 r 2 4 - r 4

f ' r = - 4 r 4 - r 4

Resposta

f ' r = - 4 r 4 - r 4

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