Enunciado

Uma partícula move-se ao longo de uma reta de acordo com a equação de movimento s = t 1 / t , onde s m é a distância orientada da partícula a partir da origem em t s. Ache a velocidade e a aceleração em 2 s.

Passo 1

Quando temos uma equação do movimento que indica a posição s de uma partícula em função do tempo t , podemos obter as equações da velocidade e da aceleração derivando s em relação a t , uma e duas vezes, respectivamente.

Passo 2

Vamos então derivar a função s t = t 1 / t obtendo s ' t = v ( t ) . Temos aqui uma função potência com a base variável e o expoente também variável. Uma boa estratégia nesse caso é aplicar o logaritmo dos dois lados para então derivar. Aplicando l n dos dois lados, a equação fica assim:

ln ⁡ s = ln ⁡ ( t 1 / t )

Quando temos um expoente no logaritmando, podemos tirá-lo de dentro do log (regra do peteleco), então fica assim:

ln ⁡ s = 1 t ln ⁡ t

Agora podemos derivar dos dois lados.

Passo 3

Derivando agora os dois lados em relação a t , temos, lembrando que d d x ln ⁡ x = 1 x :

1 s ⋅ d s d t = 1 t ' ln ⁡ t + 1 t ( ln ⁡ t ) ' = - 1 t 2 ln ⁡ t + 1 t ⋅ 1 t = 1 t 2 ( 1 - ln ⁡ t )

Passando s pro outro lado, obtemos então a expressão de s ' t = d s d t :

d s d t = s t 2 ( 1 - ln ⁡ t )

Mas queremos a resposta em função de t , e já sabems que s = t 1 / t , então chegamos no valor da velocidade em função de t :

v t = s ' t = t 1 / t t 2 1 - ln ⁡ t = t 1 / t - 2 ( 1 - ln ⁡ t )

Passo 4

Agora pra acharmos a aceleração, basta derivarmos novamente em relação a t . Usamos novamente a mesma estratégia. Partindo do valor da velocidade v = t 1 t - 2 ( 1 - ln ⁡ t ) aplicamos l n dos dois lados:

ln ⁡ v = ln ⁡ ( t 1 t - 2 1 - ln ⁡ t ) = ln ⁡ t 1 t - 2 + ln ⁡ 1 - ln ⁡ t ⇒

ln ⁡ v   = 1 t - 2 ln ⁡ t + ln ⁡ ( 1 - ln ⁡ t )

Passo 5

Agora derivamos de novo os dois lados em relação a t :

1 v ⋅ d v d t = 1 t - 2 ' ln ⁡ t + 1 t - 2 ⋅ 1 t + 1 1 - ln ⁡ t ⋅ ( 1 - ln ⁡ t ) '

Acabamos de usar aqui a regra da cadeia para derivar ln ⁡ ( 1 - ln ⁡ t ) . Resolvendo agora a equação:

1 v ⋅ d v d t = - 1 t 2 ln ⁡ t + 1 t 2 - 2 t + 1 1 - ln ⁡ t ⋅ - 1 t = - ln ⁡ t + 1 - 2 t t 2 - 1 t 1 - ln ⁡ t

Passando o v pro outro lado, chegamos ao valor de a t = v ' ( t ) :

a t = v - ln ⁡ t + 1 - 2 t t 2 - v t 1 - ln ⁡ t = t 1 t - 2 ( 1 - ln ⁡ t ) ( - ln ⁡ t + 1 - 2 t ) t 2 - t 1 t - 2 ( 1 - ln ⁡ t ) t 1 - ln ⁡ t

= t 1 t - 4 ( 1 - ln ⁡ t ) ln ⁡ t - 1 + 2 t + t 1 t - 3

Passo 6

Agora podemos achar os valores v ( 2 ) e a ( 2 ) que correspondem à velocidade e à aceleração em t = 2 s.

v 2 = 2 1 2 - 2 1 - ln ⁡ 2 = 2 1 2 1 - ln ⁡ 2 2 2 = 2 ( 1 - ln ⁡ 2 ) 4  

a 2 = 2 1 2 - 4 1 - ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 - 1 + 4 + 2 1 2 - 3 = 2 1 / 2 2 4 1 - ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 + 3 + 2 1 2 2 3

= 2 1 - ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 + 3 16 + 2 8

Resposta

v 2 = 2 ( 1 - ln ⁡ 2 ) 4     m / s  

a 2 = 2 1 - ln ⁡ 2 ln ⁡ 2 + 3 16 + 2 8   m / s 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma pintura abstrata historicamente importante foi comprada em 1925 por R$ 200 e seu valor vem dobrando a cada 10 anos, desde sua compra. Se y for o valor da pintura t anos após sua compra.Defina y em
Uma pintura abstrata historicamente importante foi comprada em 1925 por R$ 200 e seu valor vem dobrando a cada 10 anos, desde sua compra. Se y for o valor da pintura t anos após sua compra.c) Ache a t
Ache a área da região limitada pelos gráficos de y = 3 x e pelas retas x = 1 e y = 1 .
Dada f x = 1 2 ( a x + a - x ) . Prove que f b + c + f b - c = 2 f b f ( c )
Faça esboços, no mesmo conjunto de eixos, dos gráficos de de y = e x e y = 2 x . Ache a área da região limitada pelos dois gráficos e pela reta x = 1 .