Encontre a derivada da função dada:

f(x) = x^2 \* cosh^(-1)(x^2)

Passo 1

f x = x 2 cosh - 1 ⁡ x 2

Vamos usar a regra da cadeia e regra do produto aqui. Pela regra do produto

f ' x = x 2 ' cosh - 1 ⁡ x 2 + x 2 cosh - 1 ⁡ x 2 '

Temos que achar a derivada daquele cosh - 1 ⁡ x 2 usando a regra da cadeia.

Fazendo

F x = cosh - 1 ⁡ x 2

Chamei de F x só para deixar organizadinho.

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia.

Vamos fazer

F x = g h x

Com

g x = cosh - 1 ⁡ x

h x = x 2

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

F ' x = g ' h x h ' x

Temos

g ' x = 1 x 2 - 1

Então

F ' x = 1 h x 2 - 1 h ' x

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de h x

h x = x 2 → h ' x = 2 x

Vamos ter

F ' x = 1 x 2 + 1 2 - 1 2 x

F ' x = 1 x 4 + 2 x 2 + 1 - 1 2 x

F ' x = 2 x x 4 + 2 x 2

Passo 3

Voltando para nossa função inicial:

f ' x = x 2 ' cosh - 1 ⁡ x 2 + x 2 cosh - 1 ⁡ x 2 '

f ' x = 2 x cosh - 1 ⁡ x 2 + x 2 2 x x 4 + 2 x 2

f ' x = 2 x cosh - 1 ⁡ x 2 + 2 x 3 x 4 + 2 x 2

Resposta

f ' x = 2 x cosh - 1 ⁡ x 2 + 2 x 3 x 4 + 2 x 2

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