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Prove que a função cosseno hiperbólico é contínua em todo o seu domínio, mas não é monótona. Ache os intervalos nos quais a função é crescente e onde é decrescente.

Passo 1

Para provarmos isso, temos que lembrar que:

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

As funções exponenciais e x e e - x são continuas em todos os reais. Como o cosseno hiperbólico é a soma dessas duas funções, ele também vai ser contínuo.

Passo 2

O que diabos é aquilo de função monótona? Basicamente é falar que a função é sempre crescente ou sempre decrescente.

Ele já afirmou isso, temos que analisar o sinal da derivada do cosseno hiperbólico para ver quando vai ser crescente e quando vai ser decrescente.

cosh ⁡ x ' = e x + e - x 2 ' = e x - e - x 2

Vamos fazer:

e x - e - x 2 > 0

e x > e - x

e 2 x > 1

Lembrando que

1 = e 0

e 2 x > e 0

2 x > 0

x > 0

Então quando x for positivo, a derivada também vai ser.

Da mesma forma, quando x for negativo, a derivada também vai ser.

Isso vai nos dizer que:

c r e s c e n t e ⟷ x > 0

d e c r e s c e n t e ⟷ x < 0

Resposta

c r e s c e n t e ⟷ x > 0

d e c r e s c e n t e ⟷ x < 0

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