Encontre a derivada da função dada:

f(t) = sen^(-1)((t - 1) / (t + 1))

Passo 1

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia. E lembrar qual a derivada de sen - 1 ⁡  

sen - 1 ⁡ x ' = 1 1 - t 2

Vamos fazer

f t = g h t

Com

g t = sen - 1 ⁡ t

h t = t - 1 t + 1

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

f ' t = g ' h t h ' t

Temos

g ' t = 1 1 - t 2

Que é a derivada de sen - 1 ⁡  

Então

f ' t = 1 1 - h t 2 h ' t

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de h t , para isso vamos usar a regra do quociente:

h t = t - 1 t + 1 → h ' t = t - 1 ' t + 1 - t - 1 t + 1 ' t + 1 2 = t + 1 - t - 1 t + 1 2

h ' t = 2 t + 1 2

Vamos ter

f ' t = 1 1 - t - 1 t + 1 2 . 2 t + 1 2

f ' t = 1 1 - t - 1 2 t + 1 2 . 2 t + 1 2

f ' t = 1 t + 1 2 - t - 1 2 t + 1 2 . 2 t + 1 2

f ' t = 1 t + 1 2 - t - 1 2 t + 1 2 . 2 t + 1 2

f ' t = 1 t + 1 2 - t - 1 2 t + 1 . 2 t + 1 2

f ' t = t + 1 ( t 2 + 2 t + 1 ) - t 2 - 2 t + 1 . 2 t + 1 2

Lembrando que:

t + 1 2 = t + 1 2

f ' t = t + 1 4 t . 2 t + 1 2

f ' t = t + 1 2 t . 2 t + 1 2

f ' t = 1 t + 1 t

Resposta

f ' t = 1 t + 1 t

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