Encontre a derivada da função dada:

G(x) = x \* senh^(-1)(x) - raiz(x^2 + 1)

Passo 1

Vamos começar escrevendo a raiz como potência

x 2 + 1 = x 2 + 1 1 2

Nossa função vai ficar

G x = x senh - 1 ⁡ x - x 2 + 1 1 2

Vamos usar a regra da cadeia e regra do produto aqui.

Começando com:

F x = x 2 + 1 1 2

Chamei de F x só para deixar organizadinho.

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia.

Vamos fazer

F x = g h x

Com

g x = x 1 2

h x = x 2 + 1

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

F ' x = g ' h x h ' x

Temos

g ' x = 1 2 x - 1 2

Então

F ' x = 1 2 h x - 1 2 h ' x

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de h x

h x = x 2 + 1 → h ' x = 2 x

Vamos ter

F ' x = 1 2 x 2 + 1 - 1 2 2 x

F ' x = 1 2 x 2 + 1 1 2 2 x

F ' x = x x 2 + 1

Passo 3

Vamos agora para a derivada de

x senh - 1 ⁡ x

Aqui, vamos usar a regra do produto.

x senh - 1 ⁡ x ' = x ' senh - 1 ⁡ x + x senh - 1 ⁡ x '

A derivada de senh - 1 ⁡   é

senh - 1 ⁡ x ' = 1 x 2 + 1

Logo

x senh - 1 ⁡ x ' = senh - 1 ⁡ x + x x 2 + 1

Passo 4

Agora vamos juntar tudo

G ' x = x senh - 1 ⁡ x ' - F ' x

G ' x = senh - 1 ⁡ x + x x 2 + 1 - x x 2 + 1

Resposta

G ' x = senh - 1 ⁡ x + x x 2 + 1 - x x 2 + 1

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