Enunciado

Encontre a derivada da função dada:

G (x) = x senh^(- 1) x - sqrt(x^2 + 1)

Passo 1

Vamos começar escrevendo a raiz como potência

sqrt(x^2 + 1) = (x^2 + 1)^((1)/(2))

Nossa função vai ficar

G (x) = x senh^(- 1) x - (x^2 + 1)^((1)/(2))

Vamos usar a regra da cadeia e regra do produto aqui.

Começando com:

F (x) = (x^2 + 1)^((1)/(2))

Chamei de F (x) só para deixar organizadinho.

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia.

Vamos fazer

F (x) = g (h (x))

Com

g (x) = x^((1)/(2))

h (x) = x^2 + 1

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

F^' (x) = g^' (h (x)) h^' (x)

Temos

g^' (x) = (1)/(2) x^(- (1)/(2))

Então

F^' (x) = (1)/(2) (h (x))^(- (1)/(2)) h^' (x)

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de h (x)

h (x) = x^2 + 1 -> h^' (x) = 2 x

Vamos ter

F^' (x) = (1)/(2) (x^2 + 1)^(- (1)/(2)) 2 x

F^' (x) = (1)/(2 (x^2 + 1)^((1)/(2))) 2 x

F^' (x) = (x)/(sqrt(x^2 + 1))

Passo 3

Vamos agora para a derivada de

x senh^(- 1) x

Aqui, vamos usar a regra do produto.

(x senh^(- 1) x)^' = (x)^' senh^(- 1) x + x (senh^(- 1) x)^'

A derivada de senh^(- 1) é

(senh^(- 1) x)^' = (1)/(sqrt(x^2 + 1))

Logo

(x senh^(- 1) x)^' = senh^(- 1) x + (x)/(sqrt(x^2 + 1))

Passo 4

Agora vamos juntar tudo

G^' (x) = (x senh^(- 1) x)^' - F^' (x)

G^' (x) = senh^(- 1) x + (x)/(sqrt(x^2 + 1)) - (x)/(sqrt(x^2 + 1))

Resposta

G^' (x) = senh^(- 1) x + (x)/(sqrt(x^2 + 1)) - (x)/(sqrt(x^2 + 1))

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