Responde Aí

Enunciado

Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.

f x = x 3 - 3 x + 5

Passo 1

Vamos lá! Queremos achar f ' ( x ) para a seguinte função:

f x = x 3 - 3 x + 5

Para calcular f ' ( x ) pela definição vamos ter que relembrar a fórmula:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

E como fazemos isso?!

f ( x ) é só substituir! Mas quando aparece f ( x + h ) fica:

f x + h = ( x + h ) 3 - 3 ( x + h ) + 5

Passo 2

Agora vamos substituir!

f ' x = lim h → 0 ⁡ [ x + h 3 - 3 x + h + 5 ] - x 3 - 3 x + 5 h

Para resolver esse limite vamos ter que dá uma manipulada nele, vem comigo! Primeiro vamos abrir os parênteses:

f ' x = lim h → 0 ⁡ x 3 + h 3 + 3 x h 2 + 3 x 2 h - 3 x - 3 h + 5 - x 3 + 3 x - 5 h

Agora vamos cortar o que a gente consegue:

f ' x = lim h → 0 ⁡ h 3 + 3 x h 2 + 3 x 2 h - 3 h h

Já melhorou bastante, não é?

Agora vamo colocar o h em evidência:

f ' x = lim h → 0 ⁡ h h 2 + 3 x h + 3 x 2 - 3 h

Uhuuul, podemos cortar o h de baixo:

f ' x = lim h → 0 ⁡ h 2 + 3 x h + 3 x 2 - 3

Passo 3

Agora podemos aplicar h = 0 :

f ' x = 0 2 + 3 x 0 + 3 x 2 - 3

Ficamos com:

f ' x = 3 x 2 - 3

Achamos a derivada da função!!

Passo 4

Agora vamos ver os domínios das duas funções:

A função f x = x 3 - 3 x + 5 é uma função cúbica. Logo tem domínio nos reais!

E a sua derivada, f ' x = 3 x 2 - 3 , é uma função quadrática que, também tem domínio nos reias.

Resposta

f ' x = 3 x 2 - 3

Domínio de f = domínio de f ' = R .

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