Enunciado

  1. Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
  2. Encontre os valores máximo e mínimo local de f .
  3. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.

f x = x 2 ln ⁡ x

Passo 1

  1. Para achar os intervalos vamos calcular a primeira derivada, e analisar os sinais:
  2. f ' x = x 2 ln ⁡ x '

    Vamos usar as regras de derivação do produto, do polinômio e da função logarítmica:

    f x g x ' = f ' ( x ) g x + g ' x f x

    x n ' = n x n - 1

    ln ⁡ f x ' = f ' ( x ) f ( x )

    Passo 2

    Vamos agora aplicar:

    f ' x = x 2 ln ⁡ x ' = x 2 . ln ⁡ x + x 2 . ln ⁡ x ' = 2 x 2 - 1 . ln ⁡ x + x 2 . 1 x = 2 x ln ⁡ x + x = x 2 ln ⁡ x + 1 = 0

    x = 0   o u   x = e - 1 2

    Intervalo

    x

    2 ln ⁡ x + 1

    f ' ( x )

    f

    0 < x < e - 1 2

    +

    -

    -

    Decrescente em 0 , e - 1 2

    x > e - 1 2

    +

    +

    +

    Crescente em e - 1 2 , ∞

    Passo 3

  3. Para ser um ponto de máximo ou mínimo local, o sinal de f ' deve mudar nesse ponto. Vemos que em x = e - 1 2 há mudança do sinal de f ' , e como em x = e - 1 2 o sinal muda de negativo para positivo, então ele é um ponto de mínimo local.
  4. Para achar os valores é só substituir os valores em f :

    f e - 1 2 = e - 1 2 2 ln ⁡ e - 1 2 = - 0,18

    Passo 4

  5. Para achar os intervalos de concavidade devemos achar f ' ' ( x ) e analisar os sinal vamos derivar:

f ' ' x = x 2 ln ⁡ x + 1 ' = x ' . 2 ln ⁡ x + 1 + x . 2 ln ⁡ x + 1 ' = x 1 - 1 . 2 ln ⁡ x + 1 + x . 2 . 1 x + 0 = 2 ln ⁡ x + 1 + 2 = 2 ln ⁡ x + 3 = 0

ln ⁡ x = - 3 2 → x = e - 3 2

O denominador é sempre positivo, então o sinal de f ' ( x ) vai ser determinado pelo numerador:

Intervalo

2 ln ⁡ x + 3

f ' ' ( x )

Concavidade

0 < x < e - 3 2

-

-

para baixo em 0 , e - 3 2

x > e - 3 2

+

-

para cima em e - 3 2 , ∞

Para garantir que x = e - 3 2 é ponto de inflexão, devemos ver se f ( e - 3 2 ) existe:

f e - 3 2 = e - 3 2 2 ln ⁡ e - 3 2 = - 0,07

Temos que o ponto de inflexão é e - 3 2 , - 0,07 .

Resposta

  1. Decrescente em 0 , e - 1 2 e crescente em e - 1 2 , ∞
  2. f e - 1 2 = - 0,18 é mínimo local
  3. Concavidade para baixo em 0 , e - 3 2 e para cima em e - 3 2 , ∞ e ponto de inflexão é e - 3 2 , - 0,07
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