Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.3 - Ex. 16
- Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente.
- Encontre os valores máximo e mínimo local de .
- Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Passo 1
- Para achar os intervalos vamos calcular a primeira derivada, e analisar os sinais:
- Para ser um ponto de máximo ou mínimo local, o sinal de deve mudar nesse ponto. Vemos que em há mudança do sinal de , e como em o sinal muda de negativo para positivo, então ele é um ponto de mínimo local.
- Para achar os intervalos de concavidade devemos achar e analisar os sinal vamos derivar:
Vamos usar as regras de derivação do produto, do polinômio e da função logarítmica:
Passo 2
Vamos agora aplicar:
Intervalo
Decrescente em
Crescente em
Passo 3
Para achar os valores é só substituir os valores em :
Passo 4
O denominador é sempre positivo, então o sinal de vai ser determinado pelo numerador:
Intervalo
Concavidade
para baixo em
para cima em
Para garantir que é ponto de inflexão, devemos ver se existe:
Temos que o ponto de inflexão é .
Resposta
- Decrescente em e crescente em
- é mínimo local
- Concavidade para baixo em e para cima em e ponto de inflexão é
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