Enunciado

Encontre a derivada da função dada usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.

f t = 5 t - 9 t 2

Passo 1

Fala aí! como vai?😬

Nesse problema temos que calcular a derivada da função f t = 5 t - 9 t 2

A partir da definição e determinar o domínio da função e da derivada.

Parece complicado? 😁

Vamos lá, para calcular f ' ( t ) pela definição vamos ter que relembrar a fórmula:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Ela parece complicada, mas só parece, temos que substituir com a função que queremos, vamos lá!

Passo 2

Aplicando a definição, temos

f ' t = lim h → 0 ⁡ f t + h - f t h = lim h → 0 ⁡ 5 t + h - 9 t + h 2 - 5 t - 9 t 2 h

Pronto, agora para resolver esse limite vamos ter que dá uma manipulada nele, vamos lá!!

Vamos destrinchar esse numerador e ver se fica simples resolver, vamos devagar pra não cometer nenhum erro:

f ' t = lim h → 0 ⁡ 5 t + h - 9 t + h 2 - 5 t - 9 t 2 h

f ' t = lim h → 0 ⁡ 5 t + 5 h - 9 t 2 + 2 t h + h 2 - 5 t + 9 t 2 h

f ' t = lim h → 0 ⁡ 5 t + 5 h - 9 t 2 - 18 t h - 9 h 2 - 5 t + 9 t 2 h

f ' t = lim h → 0 ⁡ 5 h - 18 t h - 9 h 2 h

f ' t = lim h → 0 �� 5 - 18 t - 9 h

Pronto, chegamos em uma expressão simples, agora é só resolver aplicadando o valor que h tende:

f ' t = lim h → 0 ⁡ 5 - 18 t - 9 h

f ' t = 5 - 18 t - 9.0

f ' t = 5 - 18 t

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos ver os domínios das duas funções:

A função f t = 5 t - 9 t 2 tem domínio nos reais, nenhum valor impede de retornar um valor para essa função.

A mesma coisa acontece com a derivada da função, f ' t = 5 - 18 t , ela também tem domínio nos reias.

D o m f t = D o m f ' t = t ∈ R

Entendeu tudo? Responde Aí! 😊

Resposta

f ' t = 5 - 18 t

Domínio de f = domínio de f ' = R .

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