Enunciado

Calcule, pela definição, a derivada da função dada, no ponto dado.

f x = 1 x + 1 em p = 2

Passo 1

Essa é uma parte HARD de Cálculo. Calcular pela definição é sempre mais complicadinho, mas nunca dá erro. Inclusive, as vezes os truques de derivação não dão certo, então seremos forçados a calcular pela definição. Treinar isso é importante. Então vamos arregaçar as mangas. Vamos relembrar que a definição de derivada f ' ( x ) é:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Passo 2

Aqui temos que

f x = 1 x + 1

Assim a derivada de f em p pode ser calculada pelo limite:

f ' p = lim h → 0 ⁡ f h + p - f p h

Então:

f ' 2 = lim h → 0 ⁡ 1 h + 2 + 1 - 1 2 + 1 h

f ' 2 = lim h → 0 ⁡ 1 h + 3 - 1 3 h

f ' 2 = lim h → 0 ⁡ 3 3 h + 3 - h + 3 3 h + 3 h

f ' 2 = lim h → 0 ⁡ 3 - h - 3 3 h + 3 h

f ' 2 = lim h → 0 ⁡ - h 3 h + 3 ⋅ 1 h

Agora chegamos num ponto onde podemos aplicar nosso limite e descobrir o valor da derivada no ponto. p = 2

f ' 2 = lim h → 0 ⁡ - 1 3 h + 3

= - 1 3 0 + 3

f ' 2 = - 1 9

Prontinho. Não foi tão difícil assim. Se a gente foi devagar e montando a conta com cuidado no início o resto fica mais fácil. Terminamos por aqui, te vejo no próximo exercício.

Resposta

f ' 2 = - 1 9

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