Enunciado

Encontre a derivada da função.

y = x sen ⁡ 1 x

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função

y = x sen ⁡ 1 x

E nosso objetivo é calcular a sua derivada.

Parece complicado?

Pra começar vamos primeiro dar uma arrumada nessa função linearizando o argumento do seno...

y = x sen ⁡ x - 1

A primeira coisa que podemos perceber de y é que se trata de um produto de funções de x .

Então a principio podemos aplicar a regra do produto

f x = g x · h x ,     f ' x = g ' x · h x + g x · h ' x

Porém já adianto que quando formos calcular a derivada de sin ⁡ x - 1 não vamos poder fazer os cálculos normalmente pois se trata de uma função composta.

Para o calculo da derivada de uma função composta, aplicamos a regra da cadeia...

h x = p q x ,     h ' x = q ' x · p ' q x

bora começar!

Passo 2

Vamos começar aplicado a regra do produto como vimos no passo 1.

y ' = d x d x · sen ⁡ x - 1 + x · d sen ⁡ x - 1 d x

Mas como vimos antes, a derivada de sin ⁡ x - 1 é calculada a partir da regra da cadeia...

Temos que identificar a função de dentro e a função de fora para aplicar a regra.

Se h x = sin ⁡ x - 1 , podemos identificar q x = x - 1 e p q x = sin ⁡ q x .

Aplicando a regra da cadeia, chegamos em

y ' = d x d x · sen ⁡ x - 1 + x · d x - 1 d x · d sen ⁡ q x d q x

Na derivada de s i n tratamos q x como uma variavel, então para facilitar o entendimento do que estamos fazendo, vamos fazer q x = q

y ' = d x d x · sen ⁡ x - 1 + x · d x - 1 d x · d sen ⁡ q d q

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora o que temos que fazer é apenas calcular as derivadas e substituir na equação.

Começando pela derivada de x e x - 1 pela regra da potência...

d x d x = 1

d x - 1 d x = - x - 2

Já a derivada de sin ⁡ q é dado pelo teorema fundamental do calculo...

d sen ⁡ q d q = cos ⁡ q

Substituindo em y ' , temos

y ' = d x d x · sen ⁡ x - 1 + x · d x - 1 d x · d sen ⁡ q d q

y ' = 1 · sen ⁡ x - 1 + x · - x - 2 · cos ⁡ q

y ' = sen ⁡ x - 1 - cos ⁡ q x

Não podemos deixar o resultado em função de q , então voltamos q para x - 1 ....

y ' = sen ⁡ x - 1 - cos ⁡ x - 1 x

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

y ' = sen ⁡ x - 1 - cos ⁡ x - 1 x

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Derive.y = sec 4 x
Seja y = cos omega t , omega constante. Verifique que(d^2 y)/(d t^2) + omega^2 y = 0
Seja y = f (x) derivável até a 2 ª ª ordem. Verifique que(d)/(d x) (x^2 (d y)/(d x)) = 2 x (d y)/(d x) + x^2 (d^2 y)/(d x^2)
Derive.m) y = x^2 tan 2 x
Seja f:] - r ,r [→ R uma função derivável. Provea) Se f for uma função ímpar, então f ' será par.b) Se f for função par, então f ' será ímpar.