Enunciado

Use o gráfico dado de f x = 1 x para encontrar um número tal que δ

se x - 2 < δ então 1 x - 0,5 < 0,2

Passo 1

Opa, bora lá! Aqui temos o seguinte gráfico:

Nesta questão, a gente quer encontrar δ . Então primeiro vamos trabalhar com o intervalo que a questão deu e depois substituir na função.

O enunciado forneceu a seguinte desigualdade para acharmos o δ :

1 x - 0,5 < 0,2

Tirando do módulo das seguintes formas:

1 x - 0,5 < 0,2 e - 1 x - 0,5 < 0,2

Repara que uma é positiva e outra negativa. Vamos resolver as duas!

Começando pela positiva:

1 x - 0,5 < 0,2

1 x < 0,2 + 0,5

1 x < 0,7

Agora vamos para segunda fórmula:

- 1 x - 0,5 < 0,2

- 1 x + 0,5 < 0,2

- 1 x < 0,2 - 0,5

- 1 x < - 0,3

1 x > 0,3

Assim temos:

0,3 < 1 x < 0,7

Agora precisamos determinar os valores de x para os quais a curva y = 1 x está entre as restas horizontais y = 0,3 e y = 0,7 .

Passo 2

Para achar os valores de x , nós vamos interver o que achamos em para y . Como:

0,3 < 1 x < 0,7

Passando o x para o numerador, invertando essa fração, temos

1 0,3 < x < 1 0,7

Vamos melhorar a cara desse intervalo,

1,429 < x < 3,333

Substituindo esses limites em x - 2 < δ . Vemos que esse intervalo não é simétrico em torno de 2 , a distância até a extremidade esquerda será:

2 - 1,429 = 0,571

E a distância até a extremidade direita é

3,333 - 2 = 1,333

Assim vamos escolher δ como o menor desses números, isto é δ = 0,571 . Embora tenhamos escolhido δ = 0,571 , qualquer valor menor positivo de δ também funcionaria.

Resposta

δ = 0,571

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