Enunciado

Encontre a derivada da função. Simplifique onde possível

g x = x 2 - 1 sec - 1 ⁡ x

Passo 1

Eaee, belezinha???

Bom galera, nessa questão estamos interessados em encontrar a derivada de primeira ordem da função apresentada em relação a x :

g x = x 2 - 1 sec - 1 ⁡ x

Para isso, iremos utilizar técnicas de derivação como a Regra da Cadeia, a Regra da Potência, Regra do Produto e outras regras.

Pela Regra da Cadeia, onde temos que se:

F x = f ( g x )

Então:

F ' x = f ' g x . g ' ( x )

Passo 2

Iremos derivar em relação a x a seguinte função

g x = x 2 - 1 sec - 1 ⁡ x

Veja que dentro do argumento da raiz temos uma função.

Dessa forma, deveremos utilizar a regra da cadeia após derivar a raiz.

Além disso, há outra função multiplicando a raiz, então deveremos utilizar a Regra do Produto, que ocorre quando queremos derivar o produto de duas funções e ocorre da seguinte maneira:

f x g x ' = f ' x g x + g ' x f ( x )

Passo 3

Vamos começar diferenciando a equação g x = x 2 - 1 sec - 1 ⁡ x     em ralação a x para encontrar a derivada da função g ( x ) :

g x = x 2 - 1 sec - 1 ⁡ x ∴

d d x g x = d d x x 2 - 1 sec - 1 ⁡ x

Aplicando a regra do produto, temos:

g ' x = x 2 - 1 d d x ( sec - 1 ⁡ x ) + sec - 1 ⁡ x d d x x 2 - 1

Passo 4

Bom... a derivada do arco secante é:

d d x sec - 1 ⁡ x = 1 x x 2 - 1

Assim, aplicando a derivada do arco secante e a regra da cadeia em d d x x 2 - 1 , temos:

g ' x = x 2 - 1   1 x x 2 - 1 + sec - 1 ⁡ x 1 2 x 2 - 1 d d x �� x 2 - 1

Passo 5

Simplificando os termos e aplicando a regra da adição/subtração na derivada que nos restou, temos:

g ' x = 1 x + sec - 1 ⁡ x 2 x 2 - 1 d d x x 2 - d d x 1 ∴

g ' x = 1 x + sec - 1 ⁡ x 2 x 2 - 1 2 x - 0 ∴

g ' ( x ) = 1 x + x sec - 1 ⁡ x x 2 - 1

Resposta

g ' x = 1 x + x sec - 1 ⁡ x x 2 - 1

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Use o resultado do Exercício 52 (a) para provar que se g for uma função par e g ' ( x ) existir, então se h x = ( f ∘ g ) ( x ) e se f for derivável em toda parte, h ' 0 = 0 .
Mostre que a prova simplificada da regra da cadeia com a exigência adicional (ii) (exercício 54) não é válida para as funções f e g dadas. Em cada exercício, faça um esboço do gráfico de g . f x = x 2
Mostre que a prova simplificada da regra da cadeia com a exigência adicional (ii) (exercício 54) não é válida para as funções f e g dadas. Em cada exercício, faça um esboço do gráfico de g . f x = x 2
Mostre que a prova simplificada da regra da cadeia com a exigência adicional (ii) (exercício 54) não é válida para as funções f e g dadas. Em cada exercício, faça um esboço do gráfico de g . f x = x 4
Dadas f u = u 2 + 5 u + 5 e g x = ( x + 1 ) / ( x - 1 ) , ache a derivada de f ∘ g de duas maneiras: (a) encontrando primeiro ( f ∘ g ) ( x ) e então calculando ( f ∘ g ) ' ( x ) ; (b) usando a regra