Enunciado

Dadas f u = u 2 + 5 u + 5 e g x = ( x + 1 ) / ( x - 1 ) , ache a derivada de f ∘ g de duas maneiras: (a) encontrando primeiro ( f ∘ g ) ( x ) e então calculando ( f ∘ g ) ' ( x ) ; (b) usando a regra da cadeia.

Passo 1

Esse é um exercício interessante pois pede para calcularmos a derivada de uma função composta na raça (item (a)) e usando a regra da cadeia (b). Para calcularmos na raça, precisamos escrever f ∘ g x = f ( g x ) como uma função de x e então tomar a derivada.

Já no item (b), vamos usar a regra da cadeia:

f ∘ g ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Passo 2

No item (a), precisamos primeiro achar a composta:

f ∘ g x = f g x = g x 2 + 5 g x + 5

Então,

f ∘ g x = x + 1 x - 1 2 + 5 x + 1 x - 1 + 5 = x 2 + 2 x + 1 x - 1 2 + 5 x + 5 x - 1 + 5

Fazendo o mmc:

f ∘ g x = x 2 + 2 x + 1 + 5 x + 5 ⋅ x - 1 + 5 ⋅ x - 1 2 x - 1 2

Portanto,

f ∘ g x = x 2 + 2 x + 1 + 5 x 2 - 5 + 5 x 2 - 10 x + 5 x - 1 2 = 11 x 2 - 8 x + 1 x - 1 2

Agora vamos usar a regra do quociente para calcular a derivada:

u v ' = u ' v - u v ' v 2

Assim,

f ∘ g ' x = 11 x 2 - 8 x + 1 ' ⋅ ( x 2 - 2 x + 1 ) - 11 x 2 - 8 x + 1 ⋅ ( x 2 - 2 x + 1 ) ' x - 1 4

Portanto,

f ∘ g ' x = 22 x - 8 x - 1 2 - 11 x 2 - 8 x + 1 ⋅ 2 ⋅ ( x - 1 ) x - 1 4

Logo,

f ∘ g ' x = 2 x - 1     11 x - 4 x - 1 - 11 x 2 - 8 x + 1 x - 1 4 = 2 ( 3 - 7 x ) x - 1 3

Portanto

f ∘ g ' x = - 2   ( 7 x - 3 ) x - 1 3

Passo 3

Agora no item (b) vamos achar a derivada usando a regra da cadeia:

f ∘ g ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Vamos encontrar primeiro f ' ( u ) :

f ' u = 2 u + 5

Fazendo u = g ( x ) , temos que

f ' g x = 2 g x + 5 = 2 ( x + 1 ) x - 1 + 5 = 2 x + 2 + 5 ( x - 1 ) x - 1 = 7 x - 3 x - 1

Por outro lado, usamos a regra do quociente para achar g ' ( x ) :

g ' x = x + 1 ' ⋅ x - 1 - x + 1 ⋅ ( x - 1 ) ' x - 1 2 = x - 1 - x - 1 x - 1 2 = - 2 x - 1 2

Assim,

f ∘ g ' x = 7 x - 3 x - 1 ⋅ - 2 x - 1 2 = - 2 ( 7 x - 3 ) x - 1 3

Note que é a mesma resposta do item (a), como deve ser!

Resposta

( f ∘ g ) ' ( x ) = - 2 ( 7 x - 3 ) x - 1 3

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