Enunciado

Use o resultado do Exercício 52 (a) para provar que se g for uma função par e g ' ( x ) existir, então se h x = ( f ∘ g ) ( x ) e se f for derivável em toda parte, h ' 0 = 0 .

Passo 1

O exercício pede para usarmos o fato que a derivada de uma função é uma função ímpar (exercício 52 (a)) para provar que se g for par e h x = ( f ∘ g ) ( x ) , então h ' 0 = 0 .

Bom, se g for par, usando o resultado do exercício 52 (a), já sabemos que g ' é uma função ímpar. Agora vamos aplicar a regra da cadeia para achar uma expressão para h ' ( x ) e ver o que podemos fazer...

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia:

h ' x = f ∘ g ' x = f ' g x ⋅ g ' ( x )

Fazendo x = 0 , temos que

h ' 0 = f ' g 0 ⋅ g ' ( 0 )

O enunciado disse que f é derivável em toda parte e g ' existe, de modo que não precisamos nos preocupar com possíveis patologias e a regra da cadeia vale para todo x . Mas como provar que h ' 0 = 0 ? Ou f ' g 0 = 0 ou g ' 0 = 0 , mas qual deles é zero?

Note que não temos nenhuma informação adicional sobre f , mas sabemos que g ' é ímpar, vamos focar nisso!

Passo 3

Aqui que vem o pulo do gato: para toda função ímpar, o valor da função em x = 0 é 0 . Vamos provar isso: seja F uma função ímpar, então

F x = - F ( - x )

Fazendo x = 0 , temos que

F 0 = - F 0 ⇒ 2 F 0 = 0 ⇒ F 0 = 0

Assim, como g ' é ímpar, temos que g ' 0 = 0 , de modo que h ' 0 = 0 .

Resposta

Demonstração.

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