Enunciado

Mostre que a prova simplificada da regra da cadeia com a exigência adicional (ii) (exercício 54) não é válida para as funções f e g dadas. Em cada exercício, faça um esboço do gráfico de g .

f x = x 4     e     g x = x

Passo 1

Se você não viu o exercício 54, vai lá dar uma olhadinha e só venha para cá depois de ter entendido!

Para que a regra da cadeia seja válida, devemos ter apenas que f ' g x 1 e g ' ( x 1 ) existam, o que é exigido na hipótese (i) da de demonstração no exercício 54. Todavia, para que a demonstração simplificada do exercício 54 seja válida, devemos considerar também a hipótese (ii): para todo x ≠ x 1 num intervalo aberto contendo x 1 devemos ter g x ≠ g ( x 1 ) .

Para as funções dadas, devemos verificar que ao menos uma das hipóteses não é satisfeita.

Passo 2

A função g x = x é a função maior inteiro, que denota o maior inteiro que seja menor ou igual a x . Por exemplo, g 5,5 = g 5 = 5 , enquanto g 4,5 = 4 . O gráfico da função é dado a seguir:

Note que g não é contínua para x inteiro, de modo que g ' ( x ) não existe nesses pontos, quebrando a hipótese (i).

Passo 3

Além da hipótese (i) não ser válida para x inteiro, para x não inteiro, g é contínua e g ' ( x ) existe, porém a hipótese (ii) não é satisfeita: para x ≠ x 1 suficientemente próximo de x 1 , temos que g x = g ( x 1 ).

Resposta

Demonstração.

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