Enunciado

Encontre a derivada da função. Simplifique onde possível

y = tan - 1 ⁡ x

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada da função:

y = tan - 1 ⁡ x

Observe que nós temos uma função composta, que é a raiz e, dentro dela, a função inversa da tangente . Isso significa que vamos precisar usar a regra da Cadeia na derivação, que é dada por:

f g x ' = f ' g x ∙ g ' ( x )

Lembrando que a derivada da inversa da tangente ( tg - 1 ( ⁡ x ) ) é 1 x 2 + 1 .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar aplicando a regra da cadeia na derivada da nossa função:

y ' = 1 2 tan - 1 ⁡ x ∙ tan - 1 ⁡ x '

Observe que nós só derivamos a raiz, que a função mais externa. Agora derivando a função de dentro, usando o resultado tabelado da derivada da inversa da tangente, vamos ter:

y ' = 1 2 tan - 1 ⁡ x ∙ 1 1 + x 2

E fazendo esse produto, temos:

y ' = 1 ( 1 + x 2 ) ( 2 tan - 1 ⁡ x )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y ' = 1 ( 1 + x 2 ) ( 2 tan - 1 ⁡ x )

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Ache f ' ( x ) se f x = ( x + 1 - | x | ) 2 .
Use a regra da cadeia para provar que (a) a derivada de uma função par é uma função ímpar e (b) a derivada de uma função ímpar é uma função par, desde que essas derivadas existam.
Deduza a fórmula da derivada da função cosseno usando a fórmula da derivada da função seno, a regra da cadeia e as identidades cos ⁡ x = s e nπ 2 - xes e nx = cos ⁡ π 2 - x
Mostre que a prova simplificada da regra da cadeia com a exigência adicional (ii) (exercício 54) não é válida para as funções f e g dadas. Em cada exercício, faça um esboço do gráfico de g . f x = tan
Suponha que f e g sejam funções, tais que f ' x = 1 x e f ∘ g x = x . Prove que se g ' ( x ) existir, então g ' x = g ( x ) .