Enunciado

Suponha que um vulcão esteja em erupção e que as leituras da taxa r t com que materiais sólidos são lançados na atmosfera sejam as dadas na tabela. O tempo t é medido em segundos e a unidade para r t é toneladas por segundo.

  1. Dê estimativas superior e inferior para a quantidade Q 6 do material proveniente da erupção após 6 segundos.
  2. Use a Regra do Ponto Médio para estimar Q 6 .

Passo 1

  1. Para achar a quantidade Q 6 do material proveniente da erupção após 6 segundos vamos usar o Teorema da Variação Total:
  2. ∫ 0 6 r t d t = Q 6 - Q 0 = Q 6

    Como a taxa r t é positiva, Q t é uma função crescente, assim, para ter uma estimativa superior de Q 6 devemos fazer a soma de Riemann achando R 6 , e a estimativa inferior seria L 6 :

    R 6 = ∑ i = 1 6 r t i ∆ t e L 6 = ∑ i = 1 6 r t i - 1 ∆ t

    Vamos calcular ∆ t :

    ∆ t = b - a n

    Temos que b = 6 e a = 0 , e n é o número de subintervalos, que são 6 , vamos substituir:

    ∆ t = b - a n = 6 - 0 6 = 1

    Passo 2

    Pronto, agora temos tudo que precisa para calcular R 6 e L 6 , vamos fazer isso:

    R 6 = ∑ i = 1 6 r t i ∆ t = ∆ t r 1 + r 2 + r 3 + r 4 + r 5 + r 6 = 1 ∙ 10 + 24 + 36 + 46 + 54 + 60 = 230

    L 6 = ∑ i = 1 6 r t i - 1 ∆ t = = ∆ t r 0 + r 1 + r 2 + r 3 + r 4 + r 5 = 1 ∙ 2 + 10 + 24 + 36 + 46 + 54 = 172

    Temos então que a quantidade superior é de 230 toneladas e a inferior 172 toneladas.

    Passo 3

  3. Aqui vamos usar o número de subintervalos n = 3 , assim temos:

∆ t = b - a n = 6 - 0 3 = 2

E a fórmula para calcular Q 6 é:

Q 6 = ∆ t f t - 1 + ∙ ∙ ∙ + f t - n

Onde t - 1 é o tempo médio de cada intervalo:

Q 6 = ∆ t f t - 1 + ∙ ∙ ∙ + f t - n = 2 r 1 + r 3 + r 5 = 2 10 + 36 + 54 = 200

Então a estimativa de Q 6 é de 200 toneladas.

Resposta

  1. As estimativas do material proveniente da erupção após 6 segundos superior é de 230 toneladas e inferior de 172 toneladas.
  2. A estimativa de Q 6 é de 200 toneladas.
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