Enunciado

Mostre que a prova simplificada da regra da cadeia com a exigência adicional (ii) (exercício 54) não é válida para as funções f e g dadas. Em cada exercício, faça um esboço do gráfico de g .

f x = tan ⁡ x     e     g x = - 1 ,       s e   x < 0 0 ,         s e = 0 1 ,         s e > 0

Passo 1

Se você não viu o exercício 54, vai lá dar uma olhadinha e só venha para cá depois de ter entendido!

Para que a regra da cadeia seja válida, devemos ter apenas que f ' g x 1 e g ' ( x 1 ) existam, o que é exigido na hipótese (i) da de demonstração no exercício 54. Todavia, para que a demonstração simplificada do exercício 54 seja válida, devemos considerar também a hipótese (ii): para todo x ≠ x 1 num intervalo aberto contendo x 1 devemos ter g x ≠ g ( x 1 ) .

Para as funções dadas, devemos verificar que ao menos uma das hipóteses não é satisfeita.

Passo 2

Note que g é a função sinal, cujo gráfico é:

Veja que g não é contínua em x = 0 , de modo que g ' ( 0 ) não existe, quebrando a condição (i). Assim a regra da cadeia não vale nesse ponto.

Passo 3

Além disso, para x > 0 ou x < 0 , g é uma função localmente constante, de modo que a hipótese (ii) não é satisfeita e a demonstração simplificada não é válida!

Resposta

Demonstração.

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