Encontre a derivada da função

30) F(v) = (v / (v^3 + 1))^6

Passo 1

Muito bem, para derivar nós precisamos observar que existe uma função dentro de outra. E o que fazemos quando isso acontece?

Usamos a Regra da Cadeia! Para começar vamos chamar:

u = v v 3 + 1

E:

F u = u 6

Muito bem, já achamos u e   F ( u ) . Agora precisamos achar d F ( v ) d v , mas como?

Bem fácil:

d F ( v ) d v = d F ( v ) d u . d u d v

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Passo 2

Vamos começar por d u d v . Então vamos derivar u com relação à v, mas aqui nós temos uma divisão de funções. O que fazemos então?

Usamos a Regra do Quociente! Basta chamarmos:

f v = v

g v = v 3 + 1

Derivando as funções:

f ' v = 1

g ' v = 3 v ²

Agora sim podemos achar d u d v :

d u d v = 1 v 3 + 1 - v ( 3 v ² ) ( v 3 + 1 ) ² = v 3 + 1 - 3 v ³ ( v 3 + 1 ) ²

Então:

d u d v = 1 - 2 v ³ ( v 3 + 1 ) ²

Passo 3

Agora vamos derivar F(v) em função de u para achar d F ( v ) d u :

d F ( v ) d u = 6 u 5  

Substituindo u:

d F ( v ) d u = 6 v v 3 + 1 5

Agora vamos colocar na derivada d F ( v ) d v do passo 1:

d F ( v ) d v = 6 v v 3 + 1 5 1 - 2 v 3 v 3 + 1 2

Resposta

F ' ( v ) = 6 v v 3 + 1 5 1 - 2 v 3 v 3 + 1 2

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