Encontre a derivada da função

34) y = x^2 \* e^(-1/x)

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom.. queremos encontrar a derivada da seguinte função:

y = x 2 e - 1 x

Mas antes, para derivar, nós precisamos observar que existe uma multiplicação entre as funções.

E o que fazemos quando isso acontece?

Primeira coisa, usar a Regra do Produto, que é dada da seguinte forma:

Seja u e v duas funções deriváveis, então a derivada do produto entre essas duas funções é dada por:

u * v ' = u v ' + u ' v

Com isso, ainda não solucionaremos nosso probleminha totalmente.

Será necessário utilizar a Regra da Cadeia para aplicar a derivada em e - 1 x . Essa regrinha é dada da seguinte forma:

d y d x = d y d u . d u d x

Vamos aplicar!!

Passo 2

Vamos dividir a nossa função em duas da seguinte forma:

f x = x ²

g x = e - 1 x

Derivando:

f ' x = 2 x

Para derivar a função g vamos ter que usar a Regra da Cadeia, não é? Basta chamarmos:

u = - 1 x = - x - 1

Então:

g u = e u

Para achar d g ( x ) d x , nós podemos fazer:

d g ( x ) d x = d g ( x ) d u . d u d x

Vamos começar calculando:

d g ( x ) d u = e u

E:

d u d x = x - 2 = 1 x 2

Então:

d g ( x ) d x = 1 x 2 × e u

Substituindo u:

g ' x = e - 1 x x 2

Achamos tudo que precisávamos!

Passo 3

Agora só precisamos usar a Regra do Produto, certo?

Então, aplicando na Regra do Produto, temos:

y ' = f g ' + f ' g ∴

y ' = x ² . e - 1 x x 2 + 2 x e - 1 x

Colocando e - 1 x em evidência e simplificando:

y ' = e - 1 x ( 1 + 2 x )

Resposta

y ' = e - 1 x ( 1 + 2 x )

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