Encontre a derivada da função

29) F(t) = e^(t\*sen(2t))

Passo 1

Olá, amigo. Yuri aqui e estou aqui para te ajudar a resolver essa atividade.

Precisamos então derivar essa função. Muito bem, para derivar nós precisamos observar que existe uma função dentro da outra. Além disso, possuímos também o produto de funções. E o que fazemos quando isso acontece?

Usamos a Regra da Cadeia e a Regra do Produto.

A regra da cadeia tem a seguinte face:

d y d x = d y d u d u d x

Sei que não parece muito intuitivo, mas prometo que irá melhorar quando estiver de fato resolvendo.

Já a regra do produto:

d u v d x = u d v d x + v d u d x

Passo 2

Para começar vamos realizar uma substituição para a aplicação da regra da cadeia:

u = t . s e n   ( 2 t )

Então:

F ( u ) = e u

Muito bem, já achamos u e   F ( u ) . Agora precisamos achar d F ( t ) d t , mas como?

Aplicando a regra da cadeia que vimos no passo 1:

d F ( t ) d t = d F ( t ) d u . d u d t

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Passo 3

Vamos começar por d u d t . Então vamos derivar u   com relação à t   , mas aqui nós temos uma multiplicação de funções. O que fazemos então?

Usamos a Regra do Produto! Basta chamarmos:

f t = t

g t = s e n   ( 2 t )

Derivando a função f :

f ' t = 1

Para a função g usamos, novamente, a Regra da Cadeia, pois temos aqui novamente uma função dentro de outra função:

g ' t = d d t 2 t d d u sin ⁡ u

g ' t = 2 . cos ⁡ ( 2 t )

Agora sim podemos achar d u d t :

d u d t = 2 t cos ⁡ ( 2 t ) + s e n   ( 2 t )

Agora vamos derivar F ( t ) em função de u para achar d F ( t ) d u :

d F ( t ) d u = e u  

Substituindo u   :

d F ( t ) d u = e t . s e n   ( 2 t )

Agora vamos colocar na derivada d F ( t ) d t do passo 1:

d F ( t ) d t = e t . s e n   ( 2 t ) 2 t cos ⁡ ( 2 t ) + s e n   ( 2 t )

Resposta

F ' ( t ) = e t . s e n   ( 2 t ) 2 t cos ⁡ ( 2 t ) + s e n   ( 2 t )

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