Enunciado

Expresse o limite como uma integral definida no intervalo dado.

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n cos ⁡ x i x i . ∆ x                     [ π ,   2 π ]

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos expressar o seguinte limite como uma integral definida no intervalo π , 2 π :

lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n cos ⁡ x i x i ∆ x

Para isso, devemos saber do seguinte teorema:

Se f for integrável em a , b , então:

∫ a b f x d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i ∆ x

Assim, devemos procurar quem é o nosso f x e aplicar no teorema junto com o intervalo dado!!

Agora bora lá aplicar!! 😉

Passo 2

Bom... comparando o limite dado no enunciado com o do teorema podemos perceber que a função é:

f x = cos ⁡ x x

Agora é só colocar ela dentro da integral definida no intervalo π ,   2 π :

∫ π 2 π cos ⁡ x x d x

Tranquilo, certo?! 😉

Resposta

∫ π 2 π cos ⁡ x x d x

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