7 – 46 Encontre a derivada da função.

7. F(x) = (5x^6 + 2x^3)^4

Passo 1

Aqui meu amigo, devemos utilizar da regra da cadeia para derivarmos essa função.

Utilizamos a regra da cadeia em situações em que temos uma composição de funções.

A regra da cadeia é posta em pratica assim:

Se y = f ( g x ) e u = g ( x ) , então y = f ( u ) e

d y d x = d y d u ∙ d u d x

Passo 2

A função interna é a seguinte:

u = g x

u = 5 x 6 + 2 x 3

E a externa é:

f u = u 4

A derivada de uma função composta:

f g x

onde

g x = u

vai ser igual a

F ' x = d d u f u ⋅ d d x g x

Então a derivada da nossa função fica

F ' x = d d u u 4 ⋅ d d x 5 x 6 + 2 x 3

As duas derivadas são de polinômios:

F ' x = 4 u 3 ⋅ 30 x 5 + 6 x 2

Como

u = g x = 5 x 6 + 2 x 3

então a derivada é igual a

F ' x = 4 ( 5 x 6 + 2 x 3 ) 3 ⋅ 30 x 5 + 6 x 2

Resposta

F ' x = 4 ( 5 x 6 + 2 x 3 ) 3 ⋅ 30 x 5 + 6 x 2

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