Encontre y' a derivada implícita de (x^2) / (x + y) = y^2 + 1 :

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos y ' por derivação implícita. Logo, vamos derivar os dois lados da equação:

x 2 x + y = y 2 + 1 d d x x 2 x + y = d d x y 2 + 1

Como estamos derivando em função de x , devemos aplicar a regra da cadeia em y e a regra do quocioente para a fração:

A regra do quociente é dada por :

d d x f x g x = f ' x ∙ g x - f x ∙ g ' ( x ) g x 2

Já a regra da cadeia:

Se y = f g x e u = g ( x ) , então y = f ( y ) e

d y d x = d y d u ∙ d u d x

Passo 2

Aplicando:

d x 2 d x ∙ x + y - x 2 ∙ x + y d x x + y 2 = d y 2 d x + d d x 1

x + y 2 x - x ² ( 1 + y ' ) ( x + y ) ² = 2 y y '

Então, devemos isolar y ' para encontrarmos a derivada implícita de y :

y ' [ 2 y x 2 + 2 x y + y 2 + x 2 ] = x ( x + 2 y )

y ' = x ( x + 2 y ) 2 x 2 y + 4 x y 2 + 2 y 3 + x ²

Resposta

y ' = x ( x + 2 y ) 2 x 2 y + 4 x y 2 + 2 y 3 + x ²

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