Enunciado

Encontre y ' ' por derivação implícita.

x 2 + 4 y 2 = 4

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos a derivada segunda de y em relação a x por derivação implícita. Logo, vamos derivar os dois lados da equação.

Passo 2

Dada:

x 2 + 4 y 2 = 4

d d x x 2 + 4 y 2 = d d x ( 4 )

Como estamos derivando em função de x , devemos aplicar a regra da cadeia em y :

2 x + 8 y y ' = 0

Então, devemos isolar y ' para encontrarmos a derivada implícita de y :

2 x + 8 y y ' = 0 y ' = - 2 x 8 y y ' = - x 4 y

Passo 3

Por fim, devemos derivar os dois lados novamente para encontrarmos a derivada seguda. Fica assim:

y ' = - x 4 y

d d x ( y ' ) = d d x - x 4 y

Pela regra do quoeficiente, temos:

d d x u v = v u ' - u v ' v 2

y ' ' = - 1 4 y - x 4 y ' 4 y 2

y ' ' = - 4 y - 4 x y ' 16 y 2

Substituindo y ' :

y ' ' = - 4 y - 4 x - x 4 y 16 y 2

y ' ' = - 1 4 y 3

Resposta

y ' ' = - 1 4 y 3

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