Encontre y' a derivada implícita de x^3 - x\*y^2 + y^3 = 1 :

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos y ' por derivação implícita. Logo, vamos derivar os dois lados da equação:

x 3 - x y 2 + y 3 = 1 d d x x 3 - x y 2 + y 3 = d d x ( 1 )

Como estamos derivando em função de x , devemos aplicar a regra da cadeia em y e a regra do produto em x y ² .

A regra do produto é dada por :

d d x u v = u v ' + u ' v

Já a regra da cadeia:

Se y = f g x e u = g ( x ) , então y = f ( y ) e

d y d x = d y d u ∙ d u d x

Passo 2

Então, derivando ambos os lados e aplicando a regra da cadeia e do produto:

3 x 3 - 1 - d x d x ∙ y 2 + x ∙ d y 2 d x + d y 3 d y ∙ d y d x = 0

3 x 2 - y 2 + x 2 y y ' + 3 y ² y ' = 0

3 x 2 - y 2 - 2 x y y ' + 3 y ² y ' = 0

Então, devemos isolar y ' para encontrarmos a derivada implícita de y :

y ' 3 y 2 - 2 x y = y 2 - 3 x ²

y ' = y 2 - 3 x ² 3 y 2 - 2 x y

Resposta

y ' = y 2 - 3 x ² 3 y 2 - 2 x y

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