Enunciado

Encontre a derivada.

h t =   cotgh ⁡ 1 + t ²

Passo 1

Oie meus doces, cêis tão baunzinho??

Simbora para mais uma?

Para encontrar a derivada da função h t =   cotgh ⁡ 1 + t ²

Usaremos as regras de diferenciação.

Regra da função composta (ou regra da cadeia):

Se temos uma função y = f g x então a sua derivada em relação a x é dada por

d y d x = f ' g x ⋅ g ' ( x )

Derivada da função hiperbólica cotangente hiperbólica ( c o t g h ) :

A derivada da função hiperbólica cotangente hiperbólica coth ⁡ ( u ) em relação a u é

d d u coth ⁡ u = - 1 sinh 2 ⁡ u

Derivada da função raiz quadrada:

A derivada da função raiz quadrada y = u em relação à t é

d y d t = 1 2 u ⋅ d u d t

Passo 2

Calmaaa galerinha, não precisa se assustar com a função hiperbólica cotangente hiperbólica coth ⁡ u

A função hiperbólica cotangente hiperbólica coth ⁡ u é uma das funções hiperbólicas básicas, junto com a seno hiperbólico sinh ⁡ u , cosseno hiperbólico coth ⁡ u ,   tangente hiperbólica tanh ⁡ ( u ) , entre outras.

Ela é definida como o inverso da função tangente hiperbólica e é expressa matematicamente como:

coth ⁡ u = cosh ⁡ u sinh ⁡ u

Para encontrar a derivada da função hiperbólica cotangente hiperbólica coth ⁡ u em relação a u , usamos o conceito de diferenciação.

A derivada é dada pela expressão:

d d u coth ⁡ u = - 1 sinh 2 ⁡ u

Passo 3

Isso significa que a derivada da função hiperbólica cotangente hiperbólica é igual a menos um dividido pelo quadrado do seno hiperbólico de u .

- sinh ⁡ ( u ) é o seno hiperbólico de u , que é definido como e u - e - u 2

- coth ⁡ u   é o cosseno hiperbólico de u , que é definido como e u + e - u 2

- sinh 2 ⁡ ( u ) é o quadrado do seno hiperbólico de u , simplesmente sinh ⁡ u 2 .

Essa expressão para a derivada da função hiperbólica cotangente hiperbólica é útil ao calcular derivadas de funções que envolvem a c o t h .

Passo 4

Agora, vamos aplicar essas regras para encontrar a derivada h ( t ) :

h ' ( t )   = d d t coth ⁡ 1 + t 2

Usando a regra da cadeia, temos:

h ' t = - 1 sinh 2 ⁡ 1 + t 2 ⋅ d d t 1 + t 2

Agora, vamos calcular a derivada de 1 + t 2 em relação a t :

d d t 1 + t 2 = 1 2 1 + t 2 ⋅ d d t 1 + t 2

= 1 2 1 + t 2 ⋅ 2 t

= t 1 + t 2

Passo 5

Substituindo isso de volta na derivada de   h ( t ) , temos:

h ' t = - 1 sinh 2 ⁡ 1 + t 2 ⋅ t 1 + t 2

Essa é a derivada da função h ( t ) .

Resposta

h ' t = - 1 sinh 2 ⁡ 1 + t 2 ⋅ t 1 + t 2

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