Enunciado

Encontre as derivadas das funções vetoriais.

r t = e - t ,   t - t 3 , ln ⁡ t

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... nos foi dada a seguinte equação vetorial:

r t = e - t ,   t - t 3 , ln ⁡ t

Queremos determinar a derivada r ' t .

Para isso, basta derivarmos as equações paramétricas individualmente em relação a t , certinho??

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Aplicando a derivada nas equações paramétricas, temos:

r ' t = d d t e - t , d d t t - t 3 , d d t ln ⁡ t

A primeira derivada a gente resolve aplicando a regra da cadeia chamando u = - t :

d d t e - t = d d u e u d d t - t ∴

d d t e - t = - e - t

Para a segunda derivada a gente aplica a regra da subtração e, em seguida, a regra da potência:

d d t t - t 3 = d d t t - d d t t 3 ∴

d d t t - t 3 = 1 - 3 t 2

Por fim, da terceira derivada, temos:

d d t ln ⁡ t = 1 t

Assim, podemos dizer que a derivada r ' t é dada por:

r ' t = - e - t , 1 - 3 t 2 , 1 t

Resposta

r ' t = - e - t , 1 - 3 t 2 , 1 t

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Prove que, se lambda != 0 e vec u != vec 0 , então p r o j_vec u vec v = p r o j_lambda vec u vec v .
a) Mostre que, se u → é unitário, então p r o j u →v → = v → ⋅ u → u → .b) Seja B = ( i → ,j → ,k → ) uma base ortonormal. Mostre que todo vetor u → é a soma de suas projeções ortogonais sobre i → , j
Prove que as bissetrizes de ângulos adjacentes suplementares são perpendiculares.
a) No exercício resolvido anterior, suponha que u → , v → e w → sejam não-nulos, não necessariamente unitários. Pode-se ainda concluir que ( u → ,v → ,w → ) é base?c) Mostre que, se u → , v → e w → sã
Sejam u → , v → , a → e b → vetores não0nulos tais que u → = α a → e v → = β b → . Mostre que a n gu → ,v → = a n ga → ,b → se α β0 e a n ga → ,b → = π - a n ga → ,b → se α β0 .