Encontre dy/dx derivando implicitamente.

y sen x^2 = x sen y^2

Passo 1

O enunciado fornece uma equação que dá y em função de x de forma implícita. Como devemos achar y ' , é pedido que derivemos implicitamente a equação para assim encontra-lo!!!

Passo 2

Vamos derivar a equação dada com relação a x . É importante lembrar que não podemos tratar y como uma constante: ele depede de x e também deve ser derivado!!! Assim, f y ' = f ' y ⋅ y ' .

Derivando a equação y   s e n   x 2 = x   s e n   y 2 com relação a x , temos que

y ' ⋅ s e n   x 2 + y ⋅ cos ⁡ x 2 ⋅ 2 x = 1 ⋅ s e n   y 2 + x ⋅ cos ⁡ y 2 ⋅ 2 y ⋅ y '

Assim,

s e n   x 2   y ' + 2 x y cos ⁡ x 2 = s e n   y 2 + 2 x y cos ⁡ y 2   y '

Passo 3

Isolando y ' , temos que

y '   s e n   x 2 - 2 x y cos ⁡ y 2 = s e n   y 2 - 2 x y cos ⁡ x 2

y ' = s e n   y 2 - 2 x y cos ⁡ x 2 s e n   x 2 - 2 x y cos ⁡ y 2

Resposta

R: y ' = s e n   y 2 - 2 x y cos ⁡ x 2 s e n   x 2 - 2 x y cos ⁡ y 2

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