Enunciado

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( a ) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. ( b ) Use sua calculadora para encontrar um intervalo de comprimento 0,01 que contenha a raiz.

f x = x 5 - x 2 + 2 x + 3 = 0

Passo 1

Bom galera, nesse exercício queremos mostrar que a equação possui pelo menos uma raiz real e encontrar um intervalo de comprimento que contenha a raiz. Para isso, iremos encontrar valores que nos mostrem que existe uma raiz pelo teorema do valor intermediário. Nossa função é um polinômio, portanto, é continua para qualquer intervalo real. Iremos substituir valores de um intervalo a nossa escolha para tentar utilizar o teorema.

Passo 2

A função é contínua no intervalo [ - 1 ,   0 ] por ser um polinômio. Substituindo os valores do intervalo, temos

f - 1 = ( - 1 ) 5 - ( - 1 ) 2 + 2 - 1   + 3 = - 1

f 0 = 0 5 - 0 2 + 0 + 3 = 3

Passo 3

Como   - 1 < 0 < 3 , então, pelo Teorema do Valor Intermediário, no intervalo ( - 1 ,   0 ) há um número c tal que f c = 0 , como queremos provar.

Resposta

Como   - 1 < 0 < 3 , então, pelo Teorema do Valor Intermediário, no intervalo ( - 1 ,   0 ) há um número c tal que f c = 0 . Dessa forma, existe uma raiz de f ( x ) no intervalo - 1 ,   0 que é o nosso intervalo que contém a raiz.

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