Enunciado

Nos Exercícios 53 e 54, determine d y d x (considerando y como uma função derivável de x ) e d x d y (considerando x como uma função derivável de y ). Como d y d x e d x d y parecem estar relacionados? Explique a relação geometricamente, em termos de gráficos.

54. x 3 + y 2 = s e n 2 y

Passo 1

Então pessoal, assim como manda o manual, ou seja, assim como discutido na seção 7 do George, a técnica que devemos utilizar para derivar essa função implicitamente é a seguinte:

1. Derivar ambos os lados da equação em relação a x , considerando y como uma função derivável de x ;

2. Agrupar os termos que possuem d y d x em um lado da equação e isolar d y d x .

Esses dois passos são para o cálculo de d y d x primeiro, ok? Bora lá!

Passo 2

Derivando ambos os membros, teremos:

3 x 2 + 2 y . d y d x = 2 . s e n   y . s e n   y ' . d y d x

2 y . d y d x - 2 . s e n   y . cos ⁡ y . d y d x = - 3 x ²

Note que utilizamos a regra da cadeia para derivar a função seno! Continuando:

d y d x 2 y - 2 . s e n   y . cos ⁡ y = - 3 x ²

∴ d y d x = 3 x ² 2 . s e n   y . cos ⁡ y - 2 y

Passo 3

Agora para descobrirmos o inverso, ou seja, d x d y , os passos serão:

1. Derivar ambos os lados da equação em relação a y , considerando x como uma função derivável de y ;

2. Agrupar os termos que possuem d x d y em um lado da equação e isolar d x d y .

Passo 4

Derivando ambos os membros novamente, teremos:

3 x 2 . d x d y + 2 y = 2 . s e n   y . cos ⁡ y

Aplicando o passo 2, temos:

3 x ² d x d y = 2 . s e n   y . cos ⁡ y - 2 y

∴ d x d y = 2 . s e n   y . cos ⁡ y - 2 y 3 x ²

Passo 5

A conclusão que conseguimos chegar é que:

d x d y = 1 d y d x

As duas funções são diferentes em relação à reta identidade y = x . No entanto, os valores são recíprocos um do outro nos pontos correspondentes ( a ,   b ) e ( b ,   a ) .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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