Enunciado

Encontre a diferencial da função.

y = (1 + 2 r)^(- 4)

Passo 1

Encontramos o diferencial d y de uma função y ( r ) derivando-a e multiplicando pelo diferencial d r :

d y = y^' (r) d r

Os diferenciais servem para determinar qual a variação de y quando temos uma variação muito pequena de r . Então, derivando nossa função acharemos o diferencial. Podemos pensar que estamos “passando pro outro lado” d r na expressão da derivada:

(d y)/(d r) = y^' => d y = y^' d r

Essa notação não está correta pois d y e d r são valores infinitesimais e não podemos fazer essa manipulação algébrica, mas quando trabalhamos com diferenciais consideramos valores pequenos de d y e d r mas não tãaaao pequenos (podemos querer fazer uma linearização, usando d r = 0,01 , por exemplo), então podemos pensar assim.

Passo 2

Derivando y em relação a r , usando a regra da cadeia, temos:

y = (1 + 2 r)^(- 4)

=> (d y)/(d r) = - 4 (1 + 2 r)^(- 5) ( 2 )

=> (d y)/(d r) = - 8 (1 + 2 r)^(- 5)

Nosso diferencial é então:

d y = - 8 (1 + 2 r)^(- 5) d r

Resposta

d y = - 8 (1 + 2 r)^(- 5) d r

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