Enunciado

Encontre as assíntotas horizontal e vertical de cada curva. Confira seu trabalho por meio de um gráfico da curva e das estimativas das assíntotas.

40.

y = x 3 + 1 x 3 - x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função

y = x 3 + 1 x 3 - x

E nosso objetivo é determinar as assíntotas horizontais e verticais e a partir delas, esboçar o gráfico da função.

Parece complicado?

Para acharmos as assíntotas, nós temos métodos particulares...

As assíntotas horizontais de uma função podem ser obtidas a partir dos limites

lim x → + ∞ ⁡ f ( x )

lim x → - ∞ ⁡ f ( x )

Já para determinar as assíntotas verticais, temos que analisar a função nas suas indefinições pois aqui a função tende a ± ∞ , ou seja, em outras palavras, temos que encontrar a de modo que

lim x → a ⁡ f x = ± ∞

Veja só!

Passo 2

Começaremos com a assíntota horizontal, temos que fazer:

lim x → + ∞ ⁡ f x

lim x → - ∞ ⁡ f ( x )

Se der um número real, a assíntota será esse número. Caso dê infinito não teremos assíntota horizontal. Vamos para o cálculo!

Aplicando o limite na função, temos

lim x → + ∞ ⁡ f x = l i m x → + ∞ x 3 + 1 x 3 - x

Podemos colocar x 3 em evidencia no numerador e no denominador para simplificar a fração

lim x → + ∞ ⁡ f x = l i m x → + ∞ x 3 1 + 1 x 3 x 3 1 - 1 x 2

Simplificando x 3 temos

lim x → + ∞ ⁡ f x = l i m x → + ∞ 1 + 1 x 3 1 - 1 x 2

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = l i m x → + ∞ 1 + l i m x → + ∞ 1 x 3 l i m x → + ∞ 1 - l i m x → + ∞ 1 x 2

O limite de uma constante é igual a própria constante. Já os limites de 1 x 3 e 1 x 2 serão iguais a 0 já que temos números relativamente pequenos sendo divididos por números muito grandes

Substituindo tudo para dentro do limite, temos isso aqui:

lim x → + ∞ ⁡ f x = 1 + 0 1 - 0 = 1

Então, temos assíntota horizontal para x positivo e é a reta y = 1

Vamos reutilizar o limite

lim x → + ∞ ⁡ f x = l i m x → + ∞ 1 + 1 x 3 1 - 1 x 2

Para x → - ∞

Nesse caso, a mesma análise que fizemos para x → ∞ serve para x → - ∞ ...

Os termos 1 / x 3 e 1 / x 2 tendem a 0 , assim

lim x → - ∞ ⁡ f x = 1 + 0 1 - 0 = 1

Então, temos uma assíntota horizontal dada por y = 1

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora, partiremos para a assíntota vertical...

Como vimos no passo 1, f x deve tender a ou - ∞ . Isso acontece em uma fração quando o denominador se aproxima de 0 a medida que o numerador não se aproxima...

Vamos aplicar o limite do passo 1

lim x → a ⁡ f x = lim x → a ⁡ x 3 + 1 x 3 - x = ± ∞

Os valores de x que anulam o denominador 0 , 1 e - 1 :

Então os possíveis valores de a são 0 , 1 e - 1

x = - 1 é raiz tanto do numerador quanto do denominador, Então a função está definida em x = - 1 , logo, não nos preocuparemos com ela para fazer as assíntotas.

Vamos apenas fazer uma pequena manipulação no limite para facilitar nossos cálculos

lim x → a ⁡ f x = lim x → a ⁡ x 3 + 1 x 3 - x = lim x → a ⁡ x 3 x 3 - x + lim x → a ⁡ 1 x 3 - x

Simplificando o primeiro limite...

lim x → a ⁡ f x = lim x → a ⁡ 1 1 - 1 x 2 + lim x → a ⁡ 1 x x 2 - 1

Para x → 0 , temos

lim x → 0 ⁡ f x = lim x → 0 ⁡ 1 1 - 1 x 2 + lim x → 0 ⁡ 1 x x 2 - 1

Perceba que como x tende a 0 , o termo 1 / x 2 tende a um número muito grande, quase infinito, da mesma forma a fração 1 x x 2 - 1 .

Porém, nesse último o sinal importa, então se x → 0 + , o termo tende a + ∞ , mas se x → 0 - , o termo tende a - ∞ .

Portanto, temos

lim x → 0 ⁡ f x = 1 1 - ∞ ± ∞

lim x → 0 ⁡ f x = 0 ± ∞

lim x → 0 ⁡ f x = ± ∞

Dessa forma a reta x = 0 é uma assíntota vertical.

Bacana, não é?

Passo 4

Agora vamos analisar o que acontece para x → 1

lim x → 1 ⁡ x 3 + 1 x 3 - x

Temos que para x > 1   e próximo de 1 , x 3 + 1 é positivo e x 3 - x é positivo.

Então para pontos à direita de 1 :

lim x → 1 + ⁡ x 3 + 1 x 3 - x = + ∞

Para x < 1 e próximo de 1, x 3 + 1 é positivo e x 3 - x é negativo.

Então para pontos á esquerda de 1 :

lim x → 1 - ⁡ x 3 + 1 x 3 - x = - ∞

A reta x = 1   é assíntota vertical.

A partir das assíntotas, podemos esboçar o gráfico de y como

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

y = 1

É uma assíntota horizontal.

x = 0

x = 1

São as assíntotas verticais.

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