Enunciado

Se o erro possível na medida do volume de um gás for 0,1   c m 3 e o erro permitido na pressão for 0,001 C   K g / m 2 . Ache o tamanho do menor recipiente para o qual é válida a lei de Boyle (Exercício 23 nos Exercícios 3.9).

Passo 1

Para começar a questão, é fácil notar que precisaremos saber da lei de Boyle (voltar ao Exercício 23 nos Exercícios 3.9, caso não lembre), a qual afirma que, para uma transformação isotérmica:

P V = C

Onde P é o número de quilos por unidade quadrada de pressão, V é o número de unidades cúbicas do volume do gás e C , uma constante.

Assim, podemos escrever P como uma função do volume V , da seguinte forma:

P V = C V

Passo 2

Perceba agora que, tal como algumas outras desse capítulo, essa questão exige uma consideração definida no início da seção, em 4.9 item (2), onde podemos aproximar a variação de uma função y = f ( x ) a partir da variação de x :

∆ y = f ' ( x ) ∆ x

Teremos, portanto, aplicando essa aproximação nas variáveis do problema,

∆ P = d P ( V ) d V ∆ V

Passo 3

O passo 3 da resolução é perceber que, diferentemente das anteriores, nessa questão são fornecidos os erros permitidos e queremos descobrir o menor valor de V que satisfaz as condições enunciadas.

∆ V = ± 0,1   c m 3 = ± 0,1 * 10 - 6   m 3

∆ P = ∓ 0,001 C   K g / m 2

Passo 4

Chegamos, portanto, em uma equação na qual conhecemos o valor de ∆ P e de ∆ V , queremos obter o valor de V e não sabemos o valor de d P V d V = P ' ( V ) . Por isso, devemos calcular a diferencial de V ( r ) , função pressão do recipiente.

P ( V ) = C V

Derivando em função de V :

P ' V = - C V 2

Passo 5

Finalmente, basta interpretar os valores do problema para saber onde substituir cada dado. Substituindo,

∆ P = d P ( V ) d V ∆ V

∆ P = - C V 2 ∆ V

∓ 0,001 C = - C V 2 ( ± 0,1 * 10 - 6 )

V 2 = 100 * 10 - 6

V = 0,01   m 3

Resposta

Concluindo, o volume do menor recipiente que atende às condições enunciadas é:

V = 0,01   m 3

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(b) Use o método de Newton para aproximar a raiz correta para seis casas decimais. 14 . - 2 x 5 + 9 x 4 - 7 x 3 - 11 x = 0 [ 3 ,4 ]
Use o método de Newton para aproximar a raiz indicada da equação com precisão de seis casas decimais.A raiz positiva de sen ⁡ x = x 2
(a) Explique como sabemos que a equação dada deve ter uma raiz no intervalo especificado. 13 . 3 x 4 - 8 x 3 + 2 = 0 [ 2 ,3 ]
Use o método de Newton para encontrar todas as soluções da equação corrija até seis casas decimais. 19 .2 x = 2 - x 2
(b) Use o método de Newton para aproximar a raiz correta para seis casas decimais. 13 . 3 x 4 - 8 x 3 + 2 = 0 [ 2 ,3 ]