Enunciado

O gráfico indica como a população da Austrália está envelhecendo, apontando o passado e a porcentagem projetada da população com idade superior ou igual a 65 anos. Use uma aproximação linear para prever a porcentagem da população que terá 65 anos ou mais nos anos 2040 e 2050. Você acredita que suas previsões estão muito para mais ou para menos? Por quê?

Passo 1

Queremos estimar o valor de P para os anos de 2030 e 2040, e faremos isso usando uma linearização da função usando como base a função no ano de 2030. A linearização da função P ( t ) , utilizando como base o ano 2030, pode ser feita da seguinte maneira:

L t = P 2030 + P ' ( 2030 ) ( t - 2030 )

Devemos então obter do gráfico o valor da função para t = 2030 e também uma estimativa do valor da derivada de P em relação a t nesse ponto.

Passo 2

Primeiro vamos obter através do gráfico P ( 2030 ) :

Podemos ver na imagem que:

P 2030 = 20   %

Agora vamos estimar o valor da derivada. Fazemos isso traçando uma tangente à curva no ponto e calculando a tangente do seu ângulo de inclinação:

P ' 2030 = 5 20 = 0,25   %   p o r   a n o

Passo 3

Agora que temos P ( 2030 ) e P ' ( 2030 ) , podemos aplicar o ajuste linear para os anos de 2040 e 2050:

P 2040 = P 2030 + P ' 2030 2040 - 2030

⇒ P 2040 = 20 + 0,25 × 10 = 22,5   %

P 2050 = P 2030 + P ' 2030 2050 - 2030

⇒ P 2050 = 20 + 0,25 × 20 = 23   %

A curva está abaixo da reta tangente onde fizemos a aproximação, então os valores de P para os anos de 2040 e 2050 são na verdade menores do que os que calculamos.

Resposta

P 2040 = 22,5   %

P 2050 = 23 %

Valores superestimados.

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