Enunciado

Encontre as dimensões do retângulo com a maior área que pode ser inscrito em um triângulo equilátero com lado L se um dos lados do retângulo estiver sobre a base do triângulo.

Passo 1

O exercício quer os valores máximos que a largura e a altura de um retângulo, que chamaremos respectivamente de x e y , podem assumir dada a restrição imposta pelo tamanho do triângulo equilátero de lado L . Primeiro esboçamos uma figura hipotética:

Passo 2

Para encontrarmos as dimensões pedidas, utilizaremos semelhança de triângulos, comparando o triângulo retângulo de altura h e L 2 , com o triângulo menor preenchido de amarelo, formando a seguinte equação:

h h - y = L 2 x

Temos a fórmula dependendo de muitas variáveis, então vamos fazer a altura depender de L usando Pitágoras:

L 2 = L 2 2 + h 2

h 2 = L 2 - L 2 2

h 2 = 3 4 L 2

h = 3 2 L

Substituindo na fórmula de semelhança para isolarmos mais uma variável e tornar a equação possível de resolver:

h h - y = L 2 x

3 2 L 3 2 L - y = L 2 x

3 x = 3 2 L - y

y = 3 2 L -   3 x  

y = 3 2 L - 2 x

Substituir na fórmula da área:

A = 2 x y

A = 2 x 3 2 L - 2 x

A =   3 L x - 2 3 x 2

Passo 3

Maximizando A :

A ' x =   3 L - 4 3 x = 0

3 L = 4 3 x  

x = 3 L 4 3

x = L 4

Substituindo em y :

y = 3 2 L - 2 L 4  

y = 3 L 4

Resposta

Largura do retângulo: 2 x = L 2

Altura do retângulo: y = 3 L 4

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