Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.7 - Ex. 27
Encontre as dimensões do retângulo com a maior área que pode ser inscrito em um triângulo equilátero com lado se um dos lados do retângulo estiver sobre a base do triângulo.
Passo 1
O exercício quer os valores máximos que a largura e a altura de um retângulo, que chamaremos respectivamente de e , podem assumir dada a restrição imposta pelo tamanho do triângulo equilátero de lado . Primeiro esboçamos uma figura hipotética:
Passo 2
Para encontrarmos as dimensões pedidas, utilizaremos semelhança de triângulos, comparando o triângulo retângulo de altura h e , com o triângulo menor preenchido de amarelo, formando a seguinte equação:
Temos a fórmula dependendo de muitas variáveis, então vamos fazer a altura depender de usando Pitágoras:
Substituindo na fórmula de semelhança para isolarmos mais uma variável e tornar a equação possível de resolver:
Substituir na fórmula da área:
Passo 3
Maximizando :
Substituindo em :
Resposta
Largura do retângulo:
Altura do retângulo: